🗊Тригонометрические уравнения Методы решений

Тригонометрические уравнения Методы решений

История тригонометрии Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю) Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом Название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад Впервые способы решения треугольников были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.) Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли: ~Аль-Батани ~Абу-ль-Вафа ~Мухамед-бен Мухамед ~Насиреддин Туси Мухамед

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения - это равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное(переменную) под знаком тригонометрических функций Решить тригонометрическое уравнение, значит, найти все его корни

Уравнения вида sin x=a Уравнение sin x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1] Общая формула для решения подобных уравнений: n x=(-1)arcsin a + Пn, где n принадлежит Z и arcsin a принадлежит [-П /2; П / 2] Примеры: sin2x=0,5 sin x=-0,3

Уравнения вида cos x=a Уравнение cos x=a имеет решение при а принадлежащем [-1; 1] Общая формула для решения подобных уравнений: x=+ / -arccos a + 2Пn, где n принадлежит Z и arccos a принадлежит [0; П] Полезно знать, что arccos (-a)= П-arccos a Примеры cos4x=-1 cos0,5x=0

Уравнения вида tg x=a Уравнение tg x=a имеет решение при всех значениях а Общая формула для решения подобных уравнений: x=arctg a + Пn, где n принадлежит Z Полезно помнить, что arctg(-a)=-arctg a Примеры tg7x=25 tg x=0,7

Уравнения вида ctg x=a Уравнение ctg x=a имеет решение при всех значениях а Общая формула для решения подобных уравнений: x=arcctg a + Пn, где n принадлежит Z и arcctg a принадлежит [0; П] Полезно помнить, что arcctg(-a)=-arcctg a Примеры ctg9x=-0,1 ctg 0,6x=127

Метод подстановки 2 3 Уравнения вида asinx+bsinx+c=0, acosx+bcosx+c=0, 2 4 2 atgx+btgx+c=0, actgx+bctgx+c=0 сводятся к одной и той же функции относительно одного и того же выражения, входящего только под знак функции То есть при замене sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r получаются алгебраические уравнения: 2 3 Уравнения вида aqx+bqx+c=0, awx+bwx+c=0, 2 4 2 aex+bex+c=0, ar x+br x+c=0 После нахождения корней уравнений необходимо вернуться к sinx=q, cosx=w, tgx=e, ctgx=r не забыв что sinx=a, cosx=a, при а принадлежащем [-1; 1]

Однородные уравнения 2 2 Уравнения вида asinx+bsinxcosx+ccosx=0, asinx+bcosx+c=0 и т.д. называются однородными относительно sinx и cosx Делением на cosx*, где *-степень уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tgx 2 2 Рассмотрим уравнение asinx+bsinxcosx+ccosx=0 и разделим 2 2 его на cosx, получим: atgx+btgx+c=0 при а не равном 0 оба уравнения равносильны, т.к. cosx не равен 0, если же cosx=0, то из первого уравнения видно, что sinx=0, что невозможно т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество.