Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Нажмите для полного просмотра!

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №2

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №3

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №4

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №5

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №6

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №7

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №8

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №9

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №10

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №11

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №12

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №13

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №14

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №15

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №16

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №17

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №18

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №19

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №20

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №21

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №22

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №23

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №24

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №25

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №26

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №27

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №28

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №29

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №30

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №31

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №32

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №33

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №34

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №35

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №36

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №37

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №38

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №39

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №40

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №41

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №42

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №43

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №44

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №45

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №46

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №47

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №48

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №49

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №50

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №51

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №52

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №53

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №54

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №55

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №56

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №57

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №58

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №59

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №60

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №61

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №62

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №63

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №64

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №65

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №66

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №67

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №68

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №69

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №70

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №71

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №72

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №73

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №74

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле, слайд №75

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Доклад-сообщение содержит 75 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Математика ППИ Лекция 11. Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Слайд 2

Описание слайда:

Математика ППИ Лекция 11. Неопределённый интеграл . Методы интегрирования: замена переменной.

Слайд 3

Описание слайда:

Цели и задачи: Дать понятие первообразной и неопределенного интеграла. Изучить основные свойства интеграла.

Слайд 4

Описание слайда:

Цели и задачи: Изучить основные методы интегрирования: интегрирование методом замены переменной, по частям.

Слайд 5

Описание слайда:

Вопросы лекции 1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Основные свойства неопределённого интегра. 3.Интегрирование разложением, внесением под знак дифференциала. 4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Слайд 6

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА [1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375; [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 229-275;

Слайд 7

Описание слайда:

Интеграл (от лат. integer — целый), одно из важнейших понятий математики. Оно возникло в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным. Например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки.

Слайд 8

Описание слайда:

А с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. В соответствии с этим различают неопределённые и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Слайд 9

Описание слайда:

Немецкий учёный Г. Лейбниц одновременно с английским учёным И. Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений в 80-х годах XVII века.

Слайд 10

Описание слайда:

Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции.

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Учебный вопрос. Первообразная и неопределенный интеграл.

Слайд 15

Описание слайда:

Первообразная и неопределённый интеграл. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a; b] если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x). Пример. Найти первообразную от функции Из определения первообразной следует, что . Действительно,

Слайд 16

Описание слайда:

Замечание. Задача отыскания функции по заданной производной этой функции решается, например, в инерциальных системах счисления пути самолёта. В них с помощью акселерометров определяются ускорения движения самолёта. По ускорениям вычисляются скорости, а по скоростям – пройденный самолётом путь с указанием его текущих координат. Замечание. Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной.

Слайд 17

Описание слайда:

Пример. Пример. Рассмотрим функцию и найдём её первообразные. Решение. Первообразные

Слайд 18

Описание слайда:

Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то любая первообразная для f(x) имеет вид Ф(x)=F(x)+C, где C=const. Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то любая первообразная для f(x) имеет вид Ф(x)=F(x)+C, где C=const.

Слайд 19

Описание слайда:

Доказательство. В силу определения первообразной : F’(x)=f(x). Пусть Ф(x) – другая первообразная, тогда Ф’(x)=f(x). Рассмотрим функцию . Доказательство. В силу определения первообразной : F’(x)=f(x). Пусть Ф(x) – другая первообразная, тогда Ф’(x)=f(x). Рассмотрим функцию . Найдём Таким образом, производная равная нулю. Такое возможно лишь если , Следовательно, откуда ▲

Слайд 20

Описание слайда:

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором интервале называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором интервале называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается где - знак интеграла, - подынтегральное выражение, - подынтегральная функция.

Слайд 21

Описание слайда:

Пример. Пример. Проверим результат: Отыскание всех первообразных для данной функции или одной из них называется интегрированием. Интегрирование – есть действие, обратное дифференцированию. С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет совокупность (семейство) интегральных кривых .

Слайд 22

Описание слайда:

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции существуют первообразные, а значит и неопределённый интеграл? Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции существуют первообразные, а значит и неопределённый интеграл? На этот вопрос отвечает теорема существования неопределённого интеграла, которую мы примем без доказательства. Теорема. Если функция непрерывна на некотором интервале, то для неё на этом интервале существует первообразная, то есть неопределённый интеграл.

Слайд 23

Описание слайда:

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС, Основные свойства неопределённого интеграла.

Слайд 24

Описание слайда:

Основные свойства неопределённого интеграла. 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: если , то 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

Слайд 25

Описание слайда:

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции, плюс произвольная постоянная Справедливость последующего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны

Слайд 26

Описание слайда:

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых 4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

Слайд 27

Описание слайда:

5. Числовой множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

Слайд 28

Описание слайда:

6. Свойство инвариантности (постоянства) формул интегрирования. 6. Свойство инвариантности (постоянства) формул интегрирования. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, т.е., если то

Слайд 29

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство. Возьмём функцию для её дифференциала в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала имеем: отсюда ▲

Слайд 30

Описание слайда:

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Таблица основных интегралов (через u(x)!) 1. 2. 3. 4. 5.

Слайд 33

Описание слайда:

6. 7. 8. 9. 10.

Слайд 34

Описание слайда:

11. 11. 12. 13. 14.

Слайд 35

Описание слайда:

15. 15. 16.

Слайд 36

Описание слайда:

Замечание. Таблица основных интегралов в силу свойства инвариантности формул интегрирования оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от неё. Замечание. Таблица основных интегралов в силу свойства инвариантности формул интегрирования оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от неё.

Слайд 37

Описание слайда:

Пример. Пример.

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Слайд 40

Описание слайда:

Верно ли что: а) в) б)

Слайд 41

Описание слайда:

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС Интегрирование разложением, внесением под знак дифференциала.

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

Слайд 46

Описание слайда:

Слайд 47

Описание слайда:

Слайд 48

Описание слайда:

Слайд 49

Описание слайда:

Слайд 50

Описание слайда:

Слайд 51

Описание слайда:

Слайд 52

Описание слайда:

Слайд 53

Описание слайда:

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Слайд 54

Описание слайда:

Слайд 55

Описание слайда:

Слайд 56

Описание слайда:

Слайд 57

Описание слайда:

Слайд 58

Описание слайда:

Слайд 59

Описание слайда:

Слайд 60

Описание слайда:

Слайд 61

Описание слайда:

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Слайд 62

Описание слайда:

Слайд 63

Описание слайда:

Слайд 64

Описание слайда:

Задание на самостоятельную работу [1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004, с. 340-375. [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004, с. 229-250. Выучить таблицу основных интегралов.

Слайд 65

Описание слайда:

Математика ППИ Лекция 12. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций

Слайд 66

Описание слайда:

Вопросы лекции 1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 2. Интегрирование тригонометрических функций.

Слайд 67

Описание слайда:

Слайд 68

Описание слайда:

Слайд 69

Описание слайда:

Слайд 70

Описание слайда:

Слайд 71

Описание слайда:

Слайд 72

Описание слайда:

Слайд 73

Описание слайда:

Слайд 74

Описание слайда:

Слайд 75

Описание слайда:

Контрольные вопросы: 1. В чем заключается метод непосредственного интегрирования ? 2. В чем заключается метод интегрирования заменой? 3. В чем заключается метод интегрирования по частям?