🗊Презентация Непрерывная случайная величина

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция 5. Лекция 5. Основные изучаемые вопросы: Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Равномерный и нормальный законы распределения.

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Другой тип случайных величин, кардинально отличающийся от дискретных, - непрерывные случайные величины. Непрерывная случайная величина - это случайная величина, бесконечное и несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный), и она сплошь заполняет этот интервал. Следовательно, закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать рядом распределения. Для этого используются интегральная и дифференциальная функции распределения.

Функция распределения непрерывной Функция распределения непрерывной случайной величины Функция распределения (интегральная функция) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х: F(x) = Р(Х < х). Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна в любой точке и имеет всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производную. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение Х в интервале (х1, х2), определяется так: Р(х1 < X < х2) = F(х2) – F(x1).

Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины 1. Функция распределения может принимать любые значения от 0 до 1, так как по определению является вероятностью: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Интегральная функция распределения является неубывающей: F(x2) ≥ F(x1), если х2 ≥ х1. 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (х1, х2), то F(х) = 0, при X < х1, F(х) = 1 при X > х2.

Функция плотности вероятностей Функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины Определим некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины, т. е. представим некоторую замену вероятностям рi для дискретной случайной величины в непрерывном случае. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому необходимо рассматривать вероятность попадания в некоторый интервал. Рассмотрим вероятность попадания случайной точки на элементарный участок (х, х) длины х непрерывной случайной величины X, имеющей непрерывную и дифференцируемую функцию распределения F(x) на этом участке. По свойству функции распределения: Р(х < X <x + х) = F(x + х) - F(x).

Определим теперь отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины рассматриваемого участка, и рассмотрим предел при х  0: Определим теперь отношение этой вероятности к длине участка, т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины рассматриваемого участка, и рассмотрим предел при х  0: Функция, характеризующая плотность, с которой распределяются значения непрерывной случайной величины в данной точке, называется функцией плотности распределения или функцией плотности вероятностей f(x).

Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины X называется функция f(х), являющаяся первой производной интегральной функции распределения Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины X называется функция f(х), являющаяся первой производной интегральной функции распределения f(x) = F'(x).

Свойства функции плотности вероятностей Свойства функции плотности вероятностей 1. Функция плотности вероятностей принимает только неотрицательные значения как производная неубывающей функции распределения F(x): f(x)>0. 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал от x1 до х2 равна определенному интегралу от функции плотности вероятностей в этих пределах: 3. Функция распределения непрерывной случайной величины равна интегралу от функции плотности вероятностей в пределах от - до х: Интеграл в бесконечных делах от функции плотности вероятностей равен 1 (как сумма вероятностей всех возможных значении случайной величины X):

Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины 1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле: 2. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле: 3. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Пример. Задана функция распределения случайной величины X: Пример. Задана функция распределения случайной величины X: Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение большее 0,3, но меньшее 0,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины и ее дисперсию. Решение. По свойству интегральной функции распределения: P(x1 < X < x2) = F(x2) - F(x1), то есть Р(0,3 < X < 0,7) = F(0,7) - F(0,3) = 0,7 - 0,3 = 0,4.

По определению плотности вероятностей случайной величины: По определению плотности вероятностей случайной величины: Вероятность попадания непрерывной случайной величины в определенный интервал на основании свойства плотности распределения вероятностей: т.е. По определению, математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

По определению, дисперсия непрерывной случайной величины равна: По определению, дисперсия непрерывной случайной величины равна:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин Основные законы распределения непрерывных случайных величин 1. Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [а; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т. е. f(x) имеет вид:

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины: M[X] = (b + a)/2. Дисперсия равномерно распределенной случайной величины: D[X] = (b - a)2/12.

2. Нормальный закон распределения 2. Нормальный закон распределения Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся вид распределения. Наиболее важным условием возникновения нормального распределения является формирование признака Х как суммы большого числа независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсией. Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому с ростом числа наблюдений стремятся другие распределения. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами  и , если ее плотность вероятности имеет вид: где  - математическое ожидание X, 2 - дисперсия ( - среднее квадратическое отклонение).

Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения 1.  f(x) > 0 существует при любых действительных х. 2.  f(x)  0 при х  . 3. Максимальное значение f(x) принимает в точке х0 = , при этом 4. Кривая плотности нормального закона распределения симметрична относительно прямой х = . 5. Кривая плотности нормального закона распределения имеет две точки перегиба с координатами

Вычислим функцию распределения случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. По определению функции распределения: Вычислим функцию распределения случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. По определению функции распределения: Интеграл такого рода не выражается в элементарных функциях. Для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(х), для которой составлены таблицы. Одна из разновидностей функции Лапласа имеет вид Свойства функции Лапласа: 1. Ф(x) - нечетная функция, т.е. Ф(-x) = -Ф(x). 2. Ф(x) - монотонно возрастающая функция, т. е. Ф(x)  1 при x  .

Итак, используя интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(x) можно выразить функцию распределения нормального закона: Итак, используя интеграл вероятностей или функцию Лапласа Ф(x) можно выразить функцию распределения нормального закона:

Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения 1. Для нахождения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (х1; х2) используется формула: 2. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания  не превысит величину  > 0 (по абсолютной величине), равна: 3. «Правило трех сигм». Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами  и , то практически достоверно (с вероятностью Р = 0,9973), что ее значения заключены в интервале ( - 3;  + 3). (Вероятность «выброса» равна 0,0027.)