Неравенства и предельные теоремы - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Неравенства и предельные теоремы, слайд №1

Неравенства и предельные теоремы, слайд №2

Неравенства и предельные теоремы, слайд №3

Неравенства и предельные теоремы, слайд №4

Неравенства и предельные теоремы, слайд №5

Неравенства и предельные теоремы, слайд №6

Неравенства и предельные теоремы, слайд №7

Неравенства и предельные теоремы, слайд №8

Неравенства и предельные теоремы, слайд №9

Неравенства и предельные теоремы, слайд №10

Неравенства и предельные теоремы, слайд №11

Неравенства и предельные теоремы, слайд №12

Неравенства и предельные теоремы, слайд №13

Неравенства и предельные теоремы, слайд №14

Неравенства и предельные теоремы, слайд №15

Неравенства и предельные теоремы, слайд №16

Неравенства и предельные теоремы, слайд №17

Неравенства и предельные теоремы, слайд №18

Неравенства и предельные теоремы, слайд №19

Неравенства и предельные теоремы, слайд №20

Неравенства и предельные теоремы, слайд №21

Неравенства и предельные теоремы, слайд №22

Неравенства и предельные теоремы, слайд №23

Неравенства и предельные теоремы, слайд №24

Неравенства и предельные теоремы, слайд №25

Неравенства и предельные теоремы, слайд №26

Неравенства и предельные теоремы, слайд №27

Неравенства и предельные теоремы, слайд №28

Неравенства и предельные теоремы, слайд №29

Неравенства и предельные теоремы, слайд №30

Неравенства и предельные теоремы, слайд №31

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Неравенства и предельные теоремы. Доклад-сообщение содержит 31 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Теория вероятностей и математическая статистика Неравенства и предельные теоремы

Слайд 2

Описание слайда:

Неравенства Неравенство Маркова. Для любой случайной величины ξ и для любого ε > 0

Слайд 3

Описание слайда:

Доказательство.

Слайд 4

Описание слайда:

Неравенство Чебышёва Для любой случайной величины ξ и для любого ε >0

Слайд 5

Описание слайда:

Доказательство В неравенстве Маркова (1) подставим вместо ξ ξ –Mξ и возьмем k=2.

Слайд 6

Описание слайда:

Пример применения неравенства Чебышёва Оценить вероятность того, что сл.в. отклонится от своего матожидания на величину ≥ 2σ, где σ – средне –квадратичное отклонение.

Слайд 7

Описание слайда:

Неравенства Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.

Слайд 8

Описание слайда:

Сходимость по вероятности Определение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности к сл. в. ξ, если для любого ε > 0

Слайд 9

Описание слайда:

Сходимость по вероятности Обозначение: Замечание: «p» есть сокращение от «probability»

Слайд 10

Описание слайда:

Пример Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:

Слайд 11

Описание слайда:

Закон больших чисел (ЗБЧ) Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai, i=0,1,…,n, применим закон больших чисел, если

Слайд 12

Описание слайда:

Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их матожиданий (то есть, к постоянной величине). Замечание. ЗБЧ справедлив при некоторых условиях. Различные группы условий определяют разные формы закона больших чисел.

Слайд 13

Описание слайда:

ЗБЧ в форме Чебышёва Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn} с математическими ожиданиями Mξi=ai и с дисперсиями Dξi=σ2i, i=0,1,…,n, выполняются условия: сл.в. {ξn} независимы; дисперсии всех сл.в. {ξn} ограничены одним и тем же числом, (σ2i ≤ A для всех i), то к {ξn} применим ЗБЧ, то есть

Слайд 14

Описание слайда:

Доказательство основано на неравенстве Чебышёва. Надо показать, что выполняется определение сходимости по вероятности.

Слайд 15

Описание слайда:

Доказательство ЗБЧ в форме Чебышёва

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

ЗБЧ в форме Бернулли Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p, пусть m – число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

Слайд 18

Описание слайда:

Доказательство ЗБЧ в форме Бернулли Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов в i –ом испытании, i = 1, …, n. Случайные величины ξi имеют распределение Бернулли. Число успехов в n испытаниях, равное m, можно представить как сумму успехов в отдельных испытаниях.

Слайд 19

Описание слайда:

ai = Mξi = p. Таким образом, (*) можно записать в виде (**), что представляет из себя формулировку ЗБЧ.

Слайд 20

Описание слайда:

ξi независимы и их дисперсии ограничены одним числом (Dξi = pq < 1) следовательно, выполняются условия ЗБЧ в форме Чебышёва.

Слайд 21

Описание слайда:

ЗБЧ в форме Пуассона Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, причем вероятность успеха в i –м опыте равна pi. Пусть m – число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

Слайд 22

Описание слайда:

Доказательство ЗБЧ в форме Пуассона Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов в i–м испытании, i =1, …, n. Случайные величины ξi имеют распределение Бернулли, ai = Mξi = pi. Замечание. Единственное отличие от предыдущей теоремы – что величины имеют различные матожидания ai = Mξi = pi и различные дисперсии Dξi = piqi. Доказательство проводится как в предыдущем случае.

Слайд 23

Описание слайда:

ЗБЧ в форме Хинчина Теорема. Для того, чтобы к последовательности случайных величин {ξn} был применим ЗБЧ, достаточно, чтобы: сл.в. {ξn} независимы; сл.в. {ξn} одинаково распределены. Тогда

Слайд 24

Описание слайда:

Центральная предельная теорема (ЦПТ) В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее обстоятельство: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному.

Слайд 25

Описание слайда:

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в. Если случайные величины {ξn} независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания Mξi=a и дисперсии Dξi=σ2,… i=0,1,…,n, то при n→∞

Слайд 26

Описание слайда:

Смысл ЦПТ для н.о.р.сл.в. Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближается к нормальному закону. При числе слагаемых около 10 закон распределения суммы уже близок к нормальному.

Слайд 27

Описание слайда:

ЦПТ Теорема Ляпунова. Если случайная величина ξ представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин ξ1, ξ2,…,ξn, влияние каждой из которых на всю сумму равномерно мало, то величина ξ имеет распределение, близкое к нормальному, и тем ближе, чем больше n.

Слайд 28

Описание слайда:

Смысл ЦПТ в форме Ляпунова Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, каждая из которых мало влияет на сумму, приближается к нормальному закону. При этом важно то, что законы распределения суммируемых случайных величин могут быть любыми, заранее не известными исследователю. При числе слагаемых около 10 закон распределения суммы уже близок к нормальному.

Слайд 29

Описание слайда:

Зависимость от числа слагаемых

Слайд 30

Описание слайда:

Практическое значение ЦПТ Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: ошибки различных измерений; отклонения размеров деталей, изготовляемых при неизменном технологическом режиме; распределение числа продаж некоторого товара, объемов прибыли от реализации однородного товара различными производителями;

Слайд 31

Описание слайда:

валютные курсы; рост, вес животных и растений данного вида; отклонение точки падения снаряда от цели. Из ЦПТ следует, что они могут рассматриваться как суммарный результат большого числа слагаемых и потому приближенно следовать нормальному закону распределения.