🗊Презентация Область истинности выражения

Рассмотрим интервал P = [2, 10]. Очевидно, что область истинности выражения P: xP представляет собой отрезок на числовой оси: Рассмотрим интервал P = [2, 10]. Очевидно, что область истинности выражения P: xP представляет собой отрезок на числовой оси:

Область истинности выражения Область истинности выражения P: x∉P — это объединение интервалов (–∞, 2) и (10, ∞) :

Если ввести высказывание Q: x  Q, то пересечение интервалов P и Q определяет область истинности выражения P⋅Q1 (она выделена желтым цветом): Если ввести высказывание Q: x  Q, то пересечение интервалов P и Q определяет область истинности выражения P⋅Q1 (она выделена желтым цветом): Действительно, выражение P⋅Q истинно, если x принадлежит обоим отрезкам одновременно.

Объединение отрезков P и Q определяет область истинности логической суммы P +Q Объединение отрезков P и Q определяет область истинности логической суммы P +Q (x принадлежит хотя бы одному из отрезков):

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 16]. Выберите такой отрезок A, что формула На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 16]. Выберите такой отрезок A, что формула (( x  A)→(x  P))  (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [0, 3] 3) [11, 15] 2) [3, 11] 4) [15, 17]

Введем логические высказывания Введем логические высказывания P: x  P, Q: x  Q и A : x  A. Тогда выражение, заданное в условии, запишется в форме Z =(A →P)+Q. Раскрыв операцию “импликация” через “ИЛИ” и “НЕ”, получаем Z = A + P +Q.

Это выражение должно быть истинно для любого x, поэтому область истинности выражения Z должна охватывать всю числовую ось. Нам известны отрезки P и Q, они конечны и всю числовую ось перекрыть не могут: Это выражение должно быть истинно для любого x, поэтому область истинности выражения Z должна охватывать всю числовую ось. Нам известны отрезки P и Q, они конечны и всю числовую ось перекрыть не могут:

Оставшуюся часть должна перекрыть область истинности выражения A. Это означает, что A может быть ложно только внутри отрезка [2, 14]; Оставшуюся часть должна перекрыть область истинности выражения A. Это означает, что A может быть ложно только внутри отрезка [2, 14]; соответственно, выражение A может быть истинно только на этом отрезке. Поэтому правильный ответ — это отрезок, целиком попадающий внутрь отрезка [2, 14]. ответ — 2 (отрезок [3, 11]).

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула (( x∉ A)→(x ∉ P))  (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [0, 15] 3) [2, 10] 2) [10, 25] 4) [15, 20]

Введем логические высказывания Введем логические высказывания P: x  P, Q: x  Q и A : x  A. Тогда выражение, заданное в условии, запишется в форме Z =(A →P)+Q. Раскрыв операцию “импликация” через “ИЛИ” и “НЕ”, получаем Z = A + P +Q.

Поскольку выражение должно быть истинно для любого х, области истинности всех слагаемых должны перекрыть всю числовую ось. Область P состоит из двух полуосей, (–∞, 2) и (20, ∞): участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2, 20], а область Q — это отрезок [15, 25]: Поскольку выражение должно быть истинно для любого х, области истинности всех слагаемых должны перекрыть всю числовую ось. Область P состоит из двух полуосей, (–∞, 2) и (20, ∞): участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2, 20], а область Q — это отрезок [15, 25]:

Область истинности выражения A должна перекрывать оставшуюся часть — полуинтервал [2, 15) (открытый справа, потому что точка x = 15 уже перекрыта отрезком Q). Из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0, 15] (вариант 1) полностью перекрывает полуинтервал [2, 15), это и есть правильный ответ. Область истинности выражения A должна перекрывать оставшуюся часть — полуинтервал [2, 15) (открытый справа, потому что точка x = 15 уже перекрыта отрезком Q). Из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0, 15] (вариант 1) полностью перекрывает полуинтервал [2, 15), это и есть правильный ответ.

На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 27], Q = [15, 30] и R = [25, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 27], Q = [15, 30] и R = [25, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула (( x∈Q)→(x∉R))∧(x∈ A)∧(x∉P) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. 1) [0, 15] 3) [25, 35] 2) [10, 40] 4) [15, 25]

Введем логические высказывания Введем логические высказывания P: x∈P, Q: x∈Q, R : x∈R и A : x∈ A. Учтем, что в формуле дважды используется знак “∉”, поэтому выражение можно записать в виде: Z =(Q→R)⋅A ⋅P Представим импликацию через операции “ИЛИ” и “НЕ”: Z =(Q+ R)⋅ A ⋅P

Это выражение должно быть тождественно ложно при всех х. Поэтому роль неизвестного со- Это выражение должно быть тождественно ложно при всех х. Поэтому роль неизвестного со- множителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где произведение (Q+ R)⋅P равно 1. Поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли.

Поскольку по закону де Моргана Поскольку по закону де Моргана Q+ R = Q⋅R, область истинности выражения Q+ R — это область вне общей части отрезков Q и R (она показана желтым цветом на рисунке):

Теперь умножим это выражение на P (ему соответствует область вне отрезка [10, 27]), построив область (Q+ R)⋅P; эта область, где одновременно истинны Q+ R и P, выделена на рисунке фиолетовым цветом: Теперь умножим это выражение на P (ему соответствует область вне отрезка [10, 27]), построив область (Q+ R)⋅P; эта область, где одновременно истинны Q+ R и P, выделена на рисунке фиолетовым цветом:

В этой “фиолетовой” области выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10, 30] может быть истинно. Таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10, 30]. Этому условию удовлетворяет только отрезок [15, 25] (ответ 4). В этой “фиолетовой” области выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10, 30] может быть истинно. Таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10, 30]. Этому условию удовлетворяет только отрезок [15, 25] (ответ 4).

На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 10], Q = [10, 20] и R = [25, 40]. Выберите такой отрезок A, что выражения На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 10], Q = [10, 20] и R = [25, 40]. Выберите такой отрезок A, что выражения ( x∈ A)→(x∈P) и ( x∈Q)→(x∈R) тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при любом значении переменной х (кроме, возможно, конечного количества точек). 1) [7, 20] 3) [10, 25] 2) [2, 12] 4) [20, 30]

В этой задаче оговорка “кроме, возможно, конечного количества точек” означает, что в некоторых точках — на концах отрезков — заданные выражения могут иметь различные значения. В этой задаче оговорка “кроме, возможно, конечного количества точек” означает, что в некоторых точках — на концах отрезков — заданные выражения могут иметь различные значения. Введем логические высказывания P: x∈P, Q: x∈Q, R : x∈R и A : x∈ A. Обозначим буквами два заданных логических выражения: Y = A →P, Z = Q→R.

Выразим импликации через операции “ИЛИ” и “НЕ”: Выразим импликации через операции “ИЛИ” и “НЕ”: Y = A →P = A + P, Z = Q→R = Q+ R Заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение Y. Общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения Z = Q+ R , а затем дополнить отрезок P до этой области; это “дополнение” будет соответствовать области A.

Область истинности выражения Область истинности выражения Z = Q+ R состоит из отрезка R и области вне отрезка Q: Обратите внимание, что в данном случае область Z = Q+ R (она выделена желтым цветом) совпадает с Q (конечно, так будет не всегда).

Теперь рассмотрим область истинности выражения P (она выделена серым цветом): Теперь рассмотрим область истинности выражения P (она выделена серым цветом): Чтобы область истинности выражения Y = A + P совпала с желтой областью, выражение A должно “перекрыть” всю фиолетовую область (возможно, заходя в область P, но не внутрь отрезка [10, 20]).

Поэтому выражение A обязательно должно быть истинно на отрезке [10, 20]; обязательно должно быть ложно на полуосях (–∞, 5) и (20, +∞), а на отрезке [5, 10] его значение может быть любым. Из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7, 20] (ответ 1). Поэтому выражение A обязательно должно быть истинно на отрезке [10, 20]; обязательно должно быть ложно на полуосях (–∞, 5) и (20, +∞), а на отрезке [5, 10] его значение может быть любым. Из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7, 20] (ответ 1).

На числовой прямой даны два отрезка: На числовой прямой даны два отрезка: P = [14,34] и Q = [24, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула ( x  A) → ((x  P)  (x  Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину. 1) [15, 29] 2) [25, 29] 3) [35,39] 4) [49,55]

Обозначим отдельные высказывания буквами A: x  А, P: x  P, Q: x  Q Обозначим отдельные высказывания буквами A: x  А, P: x  P, Q: x  Q перейдем к более простым обозначениям A → (P  Q) Выражение R = (P  Q) истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны). Нарисуем область истинности выражения R = (P  Q) на числовой оси (жёлтые области):

импликация A → R истинна за исключением случая, когда A=1 и R=0, поэтому на полуотрезках [14,24[ и ]34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25,29] и [49,55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный отрезок [25,29] имеет длину 4, а отрезок [49,55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55] импликация A → R истинна за исключением случая, когда A=1 и R=0, поэтому на полуотрезках [14,24[ и ]34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25,29] и [49,55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный отрезок [25,29] имеет длину 4, а отрезок [49,55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55] Ответ: 4.

Задачи Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию: (первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)? 1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ