Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов. Доклад-сообщение содержит 21 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Задачи оптимизации

Слайд 2

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов Областью определения факторов называется диапазон изменения их значений, принятый при реализации плана эксперимента: Для двухфакторного эксперимента область определения представляет собой прямоугольник, рис. а, для трехфакторного — прямоугольный параллелепипед, рис. б, для k-факторного — k-мерный параллелепипед.

Слайд 3

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов После выявления значимых факторов области их определения устанавливают их уровни. Уровнем фактора называется его значение, фиксируемое в эксперименте. Различают верхний, нижний и нулевой уровни. Верхний и нижний уровни соответствуют границам области определения: Xi max и Xi min. Нулевой уровень соответствует середине интервала. Интервалом варьирования называют величину, равную максимальному отклонению уровня фактора от нулевого:

Слайд 4

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов Шаг (интервал) варьирования по каждой переменной выбирается таким, чтобы приращение величины выходного параметра y к базовому значению y* при реализации шага можно было выделить на фоне «шума» при небольшом числе параллельных опытов. Если нет никаких указаний на величину шага xi, то в первом приближении можно выбрать xi = 0,15x0i, т.е. принять за шаг 15 % - ное отклонение от базового уровня x0i. Такой шаг предоставляет достаточную гарантию того, что фактор xi вызовет заметную реакцию y, если связь между ними существует.

Слайд 5

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов Размер интервала варьирования определяется многими факторами, но упрощенно можно ограничиться следующим: если интервал составляет менее 10 % от области определения, он считается узким; если не более 30 % – средним; более 30 % – широким. Точность фиксирования (определения) факторов определяется точностью приборов и стабильностью в ходе опыта. Упрощенно можно полагать, что если погрешность составляет: < 1 % – высокая точность, < 5 % – средняя точность, >10 % – низкая точность эксперимента.

Слайд 6

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

Слайд 7

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

Слайд 8

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов

Слайд 9

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами (x01, x02, … x0n). Перенесем начало координат факторного пространства в эту точку

Слайд 10

Описание слайда:

Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов Введем новые переменные: где xi – масштаб по оси xi. Иногда величину Xi называют кодированной переменной. Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора. Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов , обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

Слайд 11

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Итак, с помощью полного факторного эксперимента ищут математическое описание процесса в виде уравнения Его называют уравнением регрессии, а входящие в него коэффициенты – коэффициентами регрессии. В планировании экспериментов используются, в основном, планы первого и второго порядков. Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Слайд 12

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент В табл. приведены условия опытов полного двухфакторного эксперимента. Опыты, приведенные в табл. соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат.

Слайд 13

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент План эксперимента принято составлять в виде матрицы планирования — таблицы, каждая строка которой соответствует некоторому сочетанию уровней факторов, которое реализуется в опыте. Существует несколько приемов построения матрицы. При фиксации каждого фактора только на двух уровнях (–1 и +1), наиболее распространен прием чередования знаков. Прием состоит в том, что для первого фактора знак меняется в каждой следующей строке, для второго — через строку, для третьего — на каждой четвертой строке и т.д. Построенные таким образом матрицы для двух, трех и четырех факторов приведены в табл.

Слайд 14

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент

Слайд 15

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Фактор X0 – фиктивный и введен для удобства определения свободного члена полинома b0. Значение фактора X0 всегда равно +1. Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, позволяющих проверить правильность их составления: Свойство симметричности – каждый фактор в матрице на верхнем уровне встречается столько же раз, сколько и на нижнем (алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю) где j – номер фактора; N – число опытов.

Слайд 16

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент 2. Свойство нормировки – каждый фактор в матрице встречается только на уровнях –1 и +1 (сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов) 3. Свойство ортогональности – суммы почленных произведений двух любых столбцов равны нулю 4. Свойство ротабельности – точки в матрице выбираются так, что точность предсказания параметра одинакова во всех направлениях.

Слайд 17

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Рассмотрим снова матрицу планирования 22. Предположим, что для движения к оптимуму нужна линейная модель типа y = b0 + b1X1 + b2X2. Наша задача – найти неизвестные коэффициенты, причем эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет получить только выборочные оценки для коэффициентов уравнения. Их точность зависит от свойств выборки и нуждается в статистической проверке. Оценки коэффициентов вычисляются по простой формуле

Слайд 18

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Для нашего случая Коэффициент есть среднеарифметическое значение переменной y

Слайд 19

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Коэффициенты при переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше коэффициент по абсолютной величине, тем больше влияние на эксперимент оказывает данный фактор. Знак плюс говорит о том, что параметр оптимизации увеличивается с увеличением фактора, минус – наоборот. Планируя эксперимент на первом этапе, мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования модель линейна. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, то есть просматривается эффект взаимодействия двух факторов.

Слайд 20

Описание слайда:

Полный факторный эксперимент Для оценки эффекта взаимодействия матрица планирования 22 дополняется еще одним столбцом Дополнительный коэффициент можно представить в виде Модель будет выглядеть следующим образом: y = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2.

Слайд 21

Описание слайда:

Используемая литература 1. Основы научных исследований. Курс лекций (для студентов инженерных специальностей) / Сост. Н. Г. Бойко, О. В. Федоров – Донецк: ДонНТУ, 2007. – 76 с.