🗊Презентация Обработка результатов косвенных измерений

Обработка результатов косвенных измерений. Вопросы: 1. Обработка результатов косвенных измерений при линейной зависимости. Представление результатов измерений. 2. Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной зависимости: метод линеаризации, метод приведения.

При косвенных измерениях значение искомой физической величины Y находится на основании результатов измерений аргументов (отдельные результаты наблюдений в ряду измерений) x1, x2, …, xm , связанных с искомой величиной известной функциональной зависимостью: При косвенных измерениях значение искомой физической величины Y находится на основании результатов измерений аргументов (отдельные результаты наблюдений в ряду измерений) x1, x2, …, xm , связанных с искомой величиной известной функциональной зависимостью: Y = F(x1, x2,…,xm). Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из литературных источников. Функция F должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь. При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано. Рассматривается определение результатов косвенных измерений и оценивание их погрешности при условии, что в процессе выполнения измерений параметры объекта не изменяются во времени.

Разработаны методики определения результатов косвенных измерений и оценки их погрешности: Разработаны методики определения результатов косвенных измерений и оценки их погрешности: 1) при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями изменений аргументов; 2) при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов; 3) для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

1. Обработка результатов косвенных измерений при линейной зависимости. Для решения задачи косвенных измерений необходимо, чтобы были известны: вид функций, результаты измерений аргументов x1, x2, …, xm, и оценки их погрешностей. Условием справедливости нулевой статической гипотезы об отсутствии корреляционной связи между погрешностями результатов измерения i-го и (i + 1)-го аргументов является выполнение неравенства для критерия Стьюдента.   , где n – число измерений. Значение t, сопоставляют с табличным значением tq, которое берут для принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f = n − 2 . При t>tq подтверждается значимость выборочного коэффициента корреляции.

При условии, что распределение случайных погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства. При условии, что распределение случайных погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства. , где tq – коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n − 2; – оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов xh и xj , найденная по формуле: , где xhi ; xji – результаты i-го измерения h-го и j-го аргуменов; nj = ni = n – число измерений каждого из аргументов.

Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов. Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов. Если существует линейная зависимость и отсутствует корреляция между погрешностями измерений аргументов, то обработку результатов выполняют в следующей последовательности. Искомое значение Y связано с m измеряемыми аргументами x1, x2, …, xm, уравнением: Y = b1 · x1 + b2 · x2 + … + bm · xm , где b1, b2,…, bm – постоянные коэффициенты при аргументах x1, x2, …, xm, соответственно. При экспериментальном определении коэффициентов b1, b2,…, bm результат измерения величины получается после выполнения 2-х этапов. На первом этапе оцениваются каждое слагаемое bi xi как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин. На втором этапе находят оценку измеряемой величины Y .

Результат косвенного измерения для известных значений результатов аргументов (т. е. точечные оценки рядов измерений аргументов) x1, x2, …, xm равен: Результат косвенного измерения для известных значений результатов аргументов (т. е. точечные оценки рядов измерений аргументов) x1, x2, …, xm равен: . Или результат Y вычисляется по формуле: , где– результат измерения i-го аргумента (параметра Xi ); m – число аргументов. Причем, следует напомнить, что каждый аргумент (в случае многократных измерений) может быть повторен n раз. Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения вычисляется по формуле: , где – оценка среднего квадратического отклонения измерения аргумента xi .

1.1. Представление результатов измерений. 1.1. Представление результатов измерений. Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа: а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов; б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов; в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности. Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака): , где – доверительная граница неисключенной систематической погрешности среднего значения -го аргумента.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по формуле: При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по формуле: , где – оценка СКО случайной погрешности результата измерения -го аргумента. При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле: ∆ = ± tp ⋅ Sy , где tp – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы kэф, определяемом при малых объемах выборки по формуле: .

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле: При больших объемах число степеней свободы находится по формуле: . Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного измерения определяется по правилам, изложенным выше.

2. Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной зависимости. Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения. 2.1. Метод линеаризации. Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего значения и среднего квадратического отклонения функции.

Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид: Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид: . Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R . Остаточным членом пренебрегают, если , где – среднее квадратическое отклонение cлучайных погрешностей результата измерения xi -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в функциональную зависимость средних арифметических , значений аргументов: .

Второе слагаемое , есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные - коэффициентами влияния. Второе слагаемое , есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные - коэффициентами влияния. Отклонения ∆Xi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R . Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле: где – значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов . Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения.

Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования: Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования: . В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума: , а по методу квадратического суммирования: .

2.2. Метод приведения. 2.2. Метод приведения. Этот метод оценивания погрешностей косвенных измерений применяют, когда не известны законы распределения погрешностей измерений аргументов, а между аргументами существует корреляция. Метод основан на приведении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений. Получаемые сочетания отдельных результатов измерений аргументов подставляют в формулу Y = F(x1, x2,…,xm) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Y : X1, X2, …, Xm по которым затем вычисляют результат косвенного измерения: , где m – число отдельных значений измеряемой величины; xi – i-е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки i-го сочетания согласованных результатов измерений аргументов в формулу.

Оценку среднего квадратического отклонения случайных погрешностей результата косвенного измерения вычисляют по формуле: Оценку среднего квадратического отклонения случайных погрешностей результата косвенного измерения вычисляют по формуле: . Доверительные границы случайной погрешности для результата измерения вычисляют по формуле: ∆ = T ⋅ S() , где T – коэффициент, зависящий от вида распределения отдельных значений измеряемой величины, выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вычисляют в соответствии с ГОСТ 8.207-76 .