🗊Презентация Обучение решению задач

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ АКИПКРО Кафедра математического образования

Перед работой над материалом ответьте на вопросы: Что Вы подразумеваете под термином «задача»? Всегда ли Вы планируете работу учеников над задачей? Что Вы понимаете под работой над задачей? Какие этапы работы над задачей Вы можете выделить?

Цель презентации – систематизация и обобщение знаний о методике решения текстовых задач школьного курса математики.

План: Актуальность обучения решению задач. Роль текстовых задач в обучении математике. Вопросы для самоконтроля. Классификация задач, понятие сюжетной задачи. Вопросы для самоконтроля. Технология работы над задачей. Способы решения некоторых видов сюжетных задач. Пример решения задачи ГИА 9 (демонстрационный вариант 2008 г.). Вопросы для самоконтроля. Задание для понимания учебной информации. Вопросы для самоконтроля.

Важно не только наличие знаний и умений, но и применение их в деятельности.

Пример задачи из PISA: «На международной выставке “Туризм без границ” посетители были поражены стендом фирмы Preved-Medved-Tour. Это надо видеть! Прямо в павильоне установлен надувной глобус высотой с четырехэтажный дом. А вокруг него летают пчелы, символизирующие самолеты, которые перевозят туристов. Похоже, насекомые самые настоящие. К счастью, никто из посетителей не пожаловался на укусы, и защитники животных тоже не выражали протестов… Вопрос: можно ли считать математически корректным использование пчел в качестве моделей самолетов?»

При решении этой задачи школьнику нужно было: из текста предложенного репортажа, или рекламы вычленить именно математическую задачу; отбросить незначимые детали типа «укусов» или «защитников животных»; оперировать не точными цифрами, предложенными в задании, а приблизительными значениями из повседневного опыта (высота этажа — примерно 3,5 м, длина пчелы — примерно 2 см); задействовать информацию из другой науки — географии (диаметр Земли равен примерно 13 тыс. км). Ответ: использование пчел некорректно, поскольку в том масштабе, в котором выполнен глобус, пчела соответствует 1–2 км.

Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл.). Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл.).

Решение. Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо вычислить средние характеристики: моду, медиану и среднее арифметическое.

Выпускники основной школы должны осознавать, что иногда средние характеристики могут не оказаться типичными представителями статистических данных, поэтому их использование приводит к ложному выводу, как в рассмотренной задаче. Выпускники основной школы должны осознавать, что иногда средние характеристики могут не оказаться типичными представителями статистических данных, поэтому их использование приводит к ложному выводу, как в рассмотренной задаче. Объективный вывод получается на основе анализа данных с точки зрения здравого смысла. Подобные задания создают условия не только для применения полученных знаний, но и осмысления полученного результата. Это способствует формированию предметных (математических) компетенций школьников.

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ: решаемость задания, содержащего текстовую задачу, ежегодно составляет около 30%.

Проблемы: большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы; учащиеся не умеют переносить математические знания на решение прикладных текстовых задач, встречающихся в изучении нематематических школьных предметов.

Распространен метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Распространен метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

«Обучение математике – это в первую очередь решение задач. «Обучение математике – это в первую очередь решение задач. …Развитие мышления и способности к математической деятельности осуществляется в ходе самостоятельных размышлений учащихся над задачами. Умение решать задачи – критерий успешности обучения математике.» (Концепция математического образования)

Основные причины несформированности умения решать задачи: Психологическая причина: основным мотивом решения задач являются внешние мотивы благополучия в виде отметки, престижа, поощрения и т.п., в то время как для успешного обучения решению задач основным мотивом должно быть желание «научиться решать задачи». Методическая причина: для овладения деятельностью по решению задач у учеников должна быть сформирована ориентировочная основа этой деятельности, что не всегда происходит в практике обучения математике в школе.

Учитель предлагает учащимся тот способ, который соответствует особенностям его собственного математического мышления.

Надо пытаться понять учеников, которые по-разному мыслят. Например, при сравнении чисел 2/3 и 3/4.

И. Каплунович выделил 5 ведущих подструктур математического мышления: «Тополог» «Проективист» «Порядковец» «Метрист» «Алгебраист» (Каплунович И. Об одном подходе к гуманизации обучения математике / Математика. – 2004. – № 25-26.)

«Тополог»       2/3 «включается в» 3/4, значит 2/3 < 3/4.

«Проективист»       2/3 < 3/4.

«Порядковец»       2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12, так как 8/12 < 9/12, то 2/3 < 3/4.

«Метрист»       3/4 – 2/3 = (9-8)/12 = 1/12, следовательно, 3/4 > 2/3.

«Алгебраист» (дополняет до единицы)       2/3 + 1/3 = 1, 3/4 + 1/4 = 1, так как 1/3 > 1/4, то 2/3 < 3/4.

Ученик переводит задачу «на свой язык».

Целесообразно использовать разные способы решения задач.

Факты: на решение задач по математике затрачивается около половины всего учебного времени; количество задач, решенных учащимися за 10 лет обучения, исчисляется несколькими десятками тысяч; чем старше учащиеся, тем чаще при решении малознакомой задачи они произносят печально-известные слова «…».

2. Классификация задач, понятие сюжетной задачи.

Классификация задач:

Классификация задач:

Классификация задач:

К сюжетным задачам относятся задачи, в содержании которых описан некоторый жизненный процесс, действие, событие (н-р, «на движение», «на работу» и др.). К сюжетным задачам относятся задачи, в содержании которых описан некоторый жизненный процесс, действие, событие (н-р, «на движение», «на работу» и др.). (С.А. Владимирцева).

Способы решения задач: арифметический, алгебраический, комбинированный.

Способы записи решения задачи: составление выражения по условию задачи, «вопрос-действие», «действие с пояснением», запись пункта плана с последующим выполнением действия, связный рассказ (применяется при решении задачи алгебраическим способом), таблица. ! Требований и правил по оформлению записи решения задач не существует.

3. Технология работы над задачей.

Типовой проект работы над задачей: Анализ текста задачи. Краткая его запись. Поиск способа решения задачи. Составление плана ее решения. Решение задачи и его запись. Проверка решения задачи. Выбор и запись ответа. Анализ решения задачи. Возможные обобщения.

Анализ текста задачи предполагает: разбиение текста на условие и требование; разбиение условия и требования на элементарные предложения; определение роли и значимости каждого из условий.

При анализе условия задач целесообразно выяснить: Какие ситуации рассматриваются в задаче? Какими величинами они (ситуации) характеризуются? Что известно о каждой рассматриваемой ситуации? Что нужно найти?

Вопросы, помогающие разобраться в условии задачи О чем эта задача? Что обозначают слова…? Что в задаче требуется найти? Что в задаче известно? Что является искомым?

прикидка; прикидка; соотнесение полученного результата с условием задачи; решение задачи другим способом; составление обратной задачи и др.

Некоторые виды сюжетных задач: Задачи «на движение» Задачи «на работу» Задачи «на смеси и сплавы» Задачи «на проценты»

Задачи «на движение» ВЕЛИЧИНЫ, характеризующие процесс движения «ПОДСКАЗКИ» к поиску решения

ВЕЛИЧИНЫ, характеризующие процесс движения: расстояние или пройденный путь (S) время, за которое пройден путь (t) скорость движения (V) S = V٠t

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения: а) Если два тела начинают движение одновременно, то в случае встречи, время их движения до момента встречи одинаково.

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения: б) Если тело сделало в пути остановку, а затем прибыло в пункт назначения вовремя, то время, затраченное телом фактически, меньше, чем запланированное. в) Скорость сближения двух тел, движущихся навстречу друг другу, равна сумме их скоростей.

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения: г) Собственная скорость тела при движении по реке равна среднему арифметическому скорости тела по течению реки и скорости тела против течения. д) Если одно тело догоняет другое, то скорость их сближения равна разности скоростей этих тел.

Задачи «на работу»

ВЕЛИЧИНЫ, характеризующие процесс работы: работа (А); время выполнения работы (t); производительность (скорость выполнения работы в единицу времени) (N); А = N٠t

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения:

Прототип задания B13 (№ 26592) Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Прототип задания B13 (№ 26594) На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Прототип задания B13 (№ 26596) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Прототип задания B13 (№ 26598) Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Прототип задания B13 (№ 26599) Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Задачи «на смеси и сплавы»

ВЕЛИЧИНЫ, характеризующие процесс в задачах на смеси и сплавы: масса раствора, сплава (М); масса «чистого» вещества в растворе, сплаве (m); доля «чистого» вещества в растворе, сплаве (a), а = m\M; концентрация «чистого» вещества в растворе, сплаве (С), C = a ∙ 100%.

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения: 1. Выяснить, сколько ситуаций описано в задаче, как они связаны между собой; 2. Составить таблицу:

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения:

Примеры задач «на смеси»: ЗАДАЧА 1. Смешали 30 % раствор соляной кислоты с 10 % раствором этой же кислоты и получили 600 г 15 % раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? ЗАДАЧА 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 25 % целлюлозы?

Смешали 30 % раствор соляной кислоты с 10 % раствором этой же кислоты и получили 600 г 15 % раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Способы решения задачи:

Анализ текста задачи (пункт 1) К какому типу относится задача? (задача «на смеси») Какими величинами характеризуется процесс смешивания? (М, m, а, С) Какие состояния раствора наблюдаются в задаче? Как они связаны между собой? 1-е: 30-ти % раствор соляной кислоты; 2-е: 10-ти % раствор соляной кислоты; 3-е: 600 г нового раствора с 15-ти % содержанием кислоты (получен при смешивании 1-го и 2-го растворов) Замечания. 1. За «чистое» вещество примем соляную кислоту. 2. По результату анализа текста составим таблицу.

(пункт 2)

КОНЦЕНТРАЦИЯ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ В РАСТВОРЕ 30%.

ЧТО ЗНАЕМ О ВТОРОМ РАСТВОРЕ?

КОНЦЕНТРАЦИЯ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ В РАСТВОРЕ 10 %.

ЧТО ИЗВЕСТНО О ТРЕТЬЕМ РАСТВОРЕ?

РАСТВОР ПОЛУЧАЕТСЯ ПРИ СМЕШИВАНИИ 1-ГО И 2-ГО РАСТВОРОВ, ЕГО МАССА РАВНА 600 Г, А КОНЦЕНТРАЦИЯ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ В НЕМ 15 %.

(ПУНКТ 4) ЧТО ТРЕБУЕТСЯ УЗНАТЬ В ЗАДАЧЕ?

СКОЛЬКО ГРАММОВ КАЖДОГО РАСТВОРА БЫЛО ВЗЯТО, Т.Е. МАССЫ 1-ГО И 2-ГО РАСТВОРА?

(ПУНКТ 5) КАКИЕ ЯЧЕЙКИ ТАБЛИЦЫ МОЖЕМ ЗАПОЛНИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛЫ а = m/М И C = а∙100%?

МОЖЕМ ВЫЧИСЛИТЬ: 1) ДОЛЮ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ В КАЖДОМ РАСТВОРЕ, 2) МАССУ СОЛЯНОЙ КИСЛОТЫ В 3-М РАСТВОРЕ.

(ПУНКТ 6) ВВЕДЕМ ПЕРЕМЕННУЮ: ПУСТЬ Х - МАССА 1-ГО РАСТВОРА

(ПУНКТ 8) СОСТАВИМ И РЕШИМ УРАВНЕНИЕ: 0,3х + (600 – х)∙ 0,1 = 0,15∙600 0,3х + 60 - 0,1х = 90 0,2х = 30 х = 150

(пункт 9) ПЕРЕВЕДЕМ РЕЗУЛЬТАТ «НА ЯЗЫК ЗАДАЧИ» 150 г было взято 1-го раствора Ответили ли мы на вопрос задачи? Нет. Надо найти массу 2-го раствора : 600 – 150 = 450 (г). Проверим полученный ответ, например, «прикидкой». Запишем ответ. Ответ: 150 г, 450 г.

2 способ – алгебраический (составление системы уравнений с двумя переменными) Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания x г 30%-го раствора кислоты (или 30х/100 г) и y г 10%-го раствора (или 10у/100 г). а) Так как в 600 г нового раствора кислоты стало содержаться 15%, т.е. г, то получаем следующее уравнение: б) Кроме того, по условию x + y = 600.

Составим и решим систему уравнений:

Выбор ответа По смыслу задачи 0 < x < 600, 0 < y < 600. Найденные значения x и y этим условиям удовлетворяют.

Переведем результат «на язык задачи» Итак, 30%-го раствора кислоты следует взять 150 г, а 10%-го – 450 г. Ответ: 150 г, 450 г.

Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов. Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов. Слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим схему:

Рассмотрим пары 15 и 30, 15 и 10. Рассмотрим пары 15 и 30, 15 и 10. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится схема:

Из схемы делается заключение, что Из схемы делается заключение, что 30%-го раствора следует взять 5 частей, 10%-го – 15 частей, т.е. 600 г «состоит» из 20 (т.е. 5+15) частей. Таким образом, для получения 600 г 15%-го раствора нужно взять 30%-го раствора 150 г, а 10%-го – 450 г. Ответ: 150 г, 450 г.

Старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ, всегда позволяет получить правильный ответ.

Доказательство. Доказательство. Предположим, что смешиваются x г а %-го раствора кислоты (или ах/100 г) и y г. b %-го раствора кислоты (или bу/100 г). При этом необходимо получить с %-ый раствор. Пусть, для определенности, a < c < b. Очевидно, что если c > b или c < a, то задача неразрешима.

Так как в полученных (x+y) г смеси кислоты стало содержаться с %, т.е. г, то получаем следующее уравнение: Так как в полученных (x+y) г смеси кислоты стало содержаться с %, т.е. г, то получаем следующее уравнение: Отсюда . Это отношение и дает старинный способ:

4 способ - графический Обозначим х г массу первого раствора, (600 - х) г массу второго раствора. Используем систему координат с осями С (%) и m (г):

Приравняем площади равновеликих фигур: Приравняем площади равновеликих фигур: 15х=5(600 - х) х = 150 Ответ: 150 г, 450 г.

Особенность задачи: a= m/M при m = const, т.е. масса чистого вещества в растворе не меняется, величины М и С обратно пропорциональные. Задачу можно отнести к типу задач на «обратную пропорциональную зависимость». Графически обратную пропорциональную зависимость можно изобразить с помощью равновеликих прямоугольников. Примечание: если задача предполагает аналитическую модель ax + by = c(x + y) [как в нашем случае], то ее можно решать графически, используя описанный способ.

Существует также тип задач на «прямую пропорциональную зависимость». Существует также тип задач на «прямую пропорциональную зависимость». a= m/M при a = const, т.е. доля чистого вещества в растворе не меняется. m и M (переменные величины) находятся в пропорциональной зависимости. Графически пропорциональную зависимость можно изобразить с помощью любого угла, стороны которого пересекаются параллельными прямыми. Затем нужно составить пропорцию.

ЗАДАЧА 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 25 % целлюлозы? ЗАДАЧА 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 25 % целлюлозы?

К какому типу относится задача? (задача «на смеси») К какому типу относится задача? (задача «на смеси») Какими величинами характеризуется процесс смешивания? (М, m, а, С) Какие состояния раствора наблюдаются в задаче? 1-е: 0,5 m целлюлозной массы с содержанием 85 % воды; 2-е: вода, выпариваемая из целлюлозной массы; 3-е: целлюлозная масса с содержанием 25 % целлюлозы. Замечания. 1.По результату анализа текста составляем таблицу. 2. За чистое вещество можно взять как воду, так и целлюлозу (возьмём целлюлозу).

(ПУНКТ 2)

(ПУНКТ 3) ЧТО ЗНАЕМ О ПЕРВОМ РАСТВОРЕ?

МАССА 1-ОГО РАСТВОРА РАВНА 0,5 Т, КОНЦЕНТРАЦИЯ ВОДЫ В НЕМ 85 %.

МОЖЕМ ЛИ УЗНАТЬ КОНЦЕНТРАЦИЮ ЦЕЛЛЮЛОЗЫ В 1-ОМ РАСТВОРЕ? КАКИМ ДЕЙСТВИЕМ?

ДА, 100 – 85 = 15 (%).

ЧТО ИЗВЕСТНО О 2-М РАСТВОРЕ?

2-ОЙ РАСТВОР ЭТО ЧИСТАЯ ВОДА, КОТОРУЮ ВЫПАРИВАЮТ, ПОЭТОМУ КОНЦЕНТРАЦИЯ ЦЕЛЛЮЛОЗЫ В НЕМ РАВНА 0 %.

ЧТО ЗНАЕМ О 3-М РАСТВОРЕ?

3-ИЙ РАСТВОР ПОЛУЧЕН ВЫПАРИВАНИЕМ ИЗ 1-ГО РАСТВОРА 2-ОЙ РАСТВОР И СОДЕРЖИТ 25 % ЦЕЛЛЮЛОЗЫ.

(ПУНКТ 4) ЧТО ТРЕБУЕТСЯ НАЙТИ В ЗАДАЧЕ?

СКОЛЬКО ВОДЫ НАДО ВЫПАРИТЬ, Т.Е. МАССУ 2-ГО РАСТВОРА.

(ПУНКТ 5) КАКИЕ ЯЧЕЙКИ МОЖЕМ ЗАПОЛНИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛЫ ?

(ПУНКТ 6) ВВЕДЕМ ПЕРЕМЕННУЮ.

(ПУНКТ 8) СОСТАВИМ И РЕШИМ УРАВНЕНИЕ: 0,15∙0,5 = (0,5 - х)∙0,25 0,075 = 0,125 – 0,25 х 0,25 х = 0,05 х = 0,2

(ПУНКТ 9) ПЕРЕВЕДЕМ РЕЗУЛЬТАТ «НА ЯЗЫК ЗАДАЧИ». 0,2 т воды выпарили из целлюлозной массы. Ответили ли мы на вопрос задачи? Нет, так как надо 0,2 т перевести в килограммы: 0,2 т=200 кг. Проверим полученный ответ, используя «прикидку». Запишем ответ. Ответ: 200 кг.

Пример решения задачи ГИА 9 (демонстрационный вариант 2008 г). Часть 2, №21 Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Задачи на «банковские» проценты «ПОДСКАЗКИ» к поиску решения

«ПОДСКАЗКИ» к поиску решения р % от b есть 0,01р·b. Если «a больше b на р %», то а = b + 0,01р·b или а = b (1 + 0,01р). Если «a меньше b на р %», то а = b - 0,01р·b или а = b (1 - 0,01р). Если «а увеличилось на р %», то новое значение а равно а (1 + 0,01р). Если «а уменьшилось на р %», то новое значение а равно а (1 - 0,01р). Примечание: значимую роль в решении задач на проценты играют умения учеников находить число по дроби, дробь от числа, выражать проценты дробями и наоборот.

Примеры: ЗАДАЧА 1. Вкладчик положил в банк деньги под 10 %. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов? ЗАДАЧА 2. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20 %. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть первоначального уровня?

ЗАДАЧА 1. Вкладчик положил в банк деньги под 10 %. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов? ЗАДАЧА 1. Вкладчик положил в банк деньги под 10 %. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

К какому типу относится задача? К какому типу относится задача? Задача «на банковские проценты». 2. Какие ситуации описаны в задаче? а) вкладчик положил деньги в банк под 10 %; б) произошло первичное начисление процентов; в) вкладчик изъял некоторую сумму (какое-то количество % от исходной суммы); г) произошло вторичное начисление процентов; д) сумма на счету оказалась на 1 % меньше вклада (первоначальная сумма уменьшилась на 1 %).

Пусть S сумма вклада. Пусть S сумма вклада. S(1 + 0,1) = 1,1·S – сумма вклада после первого начисления. 0,01k·S – часть, изъятая вкладчиком (от исходной суммы – по условию). 1,1·S – 0,01k·S - сумма, оставшаяся на счету после первого начисления (на которую будет вторично начислен процент).

(1,1·S – 0,01k·S) 1,1 – сумма вклада после второго начисления. (1,1·S – 0,01k·S) 1,1 – сумма вклада после второго начисления. Так как сумма, оказавшаяся на счету на 1 % меньше исходной величины, то ее значение равно S (1 – 0,01) = 0,99·S.

Составим и решим уравнение: ( 1,1S – 0,01k ·S) 1,1 = 0,99 S / разделим обе части уравнения на S ≠ 0 (1,1 – 0,01k ) 1,1 = 0,99 1,1 – 0,01k = 0,99 : 1,1 1,1 – 0,01k = 0,9 0,01k = 0,2 k = 20 Переведем полученный результат на язык задачи: 20 % от исходной суммы было изъято вкладчиком. Ответ: 20 %.

ЗАДАЧА 2. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20 %. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть первоначального уровня? ЗАДАЧА 2. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20 %. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть первоначального уровня?

К какому типу относится задача? К какому типу относится задача? Задача «на банковские проценты». 2. Какие ситуации описаны в задаче? а) предприятие уменьшило выпуск продукции на 20 % (первоначальный объем уменьшился на 20%); б) предприятию необходимо увеличить выпуск, чтобы достичь первоначального уровня.

Пусть S объем выпускаемой продукции первоначально. Пусть S объем выпускаемой продукции первоначально. S (1 - 0,2) = 0,8 S – объем выпускаемой продукции после снижения. 0,01р – процент, на который необходимо повысить выпуск продукции. 0,8S (1 + 0,01р) – объем выпускаемой продукции в случае повышения. Так как объем выпускаемой продукции должен достичь первоначального уровня, то он равен S.

Составим и решим уравнение: 0,8 S (1 + 0,01р) = S / разделим обе части уравнения на S ≠ 0 0,8 (1 + 0,01р) = 1 1 + 0,01р = 1 : 0,8 0,01р = 1,25 – 1 р = 25 На 25 % надо увеличить выпуск продукции, чтобы достичь первоначального уровня Ответ: 25 %.

Подсказки к решению задач на «банковские» проценты являются основой для решения задач на сложные проценты: Число увеличили на 10%, потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза? Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в массе 10%. Осталась ли за этот год его масса прежней?

Задание для понимания учебнойинформации Попытайтесь схематически представить главные теоретические положения материала. Сравните Вашу схему с той, которая представлена на следующем слайде.

Проверьте понимание материала, который Вы систематизировали и обобщили благодаря работе с презентацией, ответив на вопросы для самоконтроля. В случае затруднения при ответах на вопросы обращайтесь вновь к презентации.

Используемые источники литературы: Владимирцева С.А. Теория и методика обучения математике : Общая методика. – Барнаул : БГПУ, 2004. Далингер В.А. Текстовые задачи на проценты и методика обучения учащихся их решению // Вестник ОмГПУ, 2006. Доклад на заседании районного МО учителей математики 8.01.2003. – «Практико-ориентированная деятельность учащихся как фактор, обеспечивающий социальную адаптацию личности» // orenmath.liceum4.ru/file_download/43. Каплунович И. Об одном подходе к гуманизации обучения математике // Математика. – 2004. – № 25-26. – С. 2-6. Кац М. Проценты // Математика. – 2004. – № 23. – С. 28-32. Кац М. Проценты // Математика. – 2004. – № 25-26. – С. 34-37. Концепция математического образования // Математика в школе. – 2000. – № 2. – С. 15. Ляпин С.Е. Методика обучения математике. – М., 1952. Неопределённые и переопределённые задачи (использование задач с «аномальным» условием в процессе обучения математике) // http://na5.ru/509013-1. Рашпелева Е. Несколько способов решения одной задачи // Математика. – 2004. – № 48. – С. 15-16. Шевкин А. Текстовые задачи в школьном курсе математики. Лекция 4. Задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость. Задачи на пропорции // Математика. – 2005. – № 20. – C. 16-23. http://www.expert.ru/printissues/russian_reporter/2008/05/pisa/ «Русский репортер» №5 (35)/ Григорий Тарасевич, редактор отдела «Науки» журнала «Русский репортер» matem.uspu.ru/i/inst/math/subjects/13.ppt. mrcpk.marsu.ru/works_iso/2007-06-18/.../progelkours.doc. Презентации учителя математики Зениной Алевтины Дмитриевны.