Обзор численных методов - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Обзор численных методов. Доклад-сообщение содержит 38 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

РХТУ им. Д.И. Менделеева Каф. ИКТ Курс создал: ст. преп. A.М. Васецкий

Слайд 2

Описание слайда:

Литература В. М. Вержбицкий, Основы численных методов, Высшая школа, 2005 г. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова, Вычислительные методы для инженеров, Высшая школа, 1994 А. В. Пантелеев, Т. А. Летова Методы оптимизации в примерах и задачах. Прикладная математика для ВТУЗов, Высшая школа, 2008

Слайд 3

Описание слайда:

Решение нелинейных алгебраических уравнений Пусть функция f(x) определена и непрерывна при всех х на отрезке [а,b] и на [а,b] меняет знак, т.е. f(a)*f(b)

Слайд 4

Описание слайда:

Решение нелинейных алгебраических уравнений. Алгоритм метода половинного деления

Слайд 5

Описание слайда:

Блок-схема метода половинного деления

Слайд 6

Описание слайда:

Решение нелинейных алгебраических уравнений. Алгоритм метода секущих

Слайд 7

Описание слайда:

Решение нелинейных алгебраических уравнений. Алгоритм метода Стеффенсена

Слайд 8

Описание слайда:

Решение нелинейных алгебраических уравнений. Алгоритм метода простой итерации Чтобы применить метод простой итерации необходимо преобразовать исходное уравнение к виду х=(x). Далее выбирается начальное приближение корня х0 и вычисления проводят по схеме xn+1= (xn). Сходимость обеспечивается при |’(xn)|

Слайд 9

Описание слайда:

Трёхдиагональная СЛАУ Трёхдиагональными называются матрицы, каждая строка которых содержит 3 соседних неизвестных: bixi-1+cixi+dixi+1=ri, b1=0, dn=0, i=1..n Или в матричной форме:

Слайд 10

Описание слайда:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) СЛАУ в матричном виде записывается как А*x=b, где

Слайд 11

Описание слайда:

Решение трёхдиагональной СЛАУ методом прогонки Прямой ход метода прогонки: Определение коэффициентов i, i, i=2..n 1=-d1/c1; 1=r1/c1 Обратный ход метода прогонки: xn=n xi=ixi+1+i i=n-1,..1 Задача корректна (ci+bidi-1≠0) и устойчива (|i||bi|+|di|

Слайд 12

Описание слайда:

Решение СЛАУ методом Гаусса Прямой ход метода Гаусса (приведение к треугольному виду)

Слайд 13

Описание слайда:

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса

Слайд 14

Описание слайда:

LU-разложение Любая матрица А(n x n) может быть преобразована представлена как произведение нижней (L) и верхней (U) треугольных матриц следующим образом:

Слайд 15

Описание слайда:

LU-разложение (продолжение) Из оставшейся части 2-й строки u2j=a2j-l21u1j (j=2,...,n) Из оставшейся части 2-го столбца li2=(ai2-li1u12)/u22 (i=3,…,n) … Т.е. все отличные от 0 и 1 элементы матриц L и U могут быть вычислены при помощи формул:

Слайд 16

Описание слайда:

Решение СЛАУ при помощи LU-разложения Система Ax=b преобразуется к LUx=b Или, вводя вектор вспомогательных переменных y: Ly=b и Ux=y

Слайд 17

Описание слайда:

Решение СЛАУ методом простых итераций Сначала надо привести функцию, удобному для метода итераций: x=(x). Итерационная процедура представлена в виде:

Слайд 18

Описание слайда:

Решение СЛАУ методом Зейделя Вариант метода простых итераций, где часть переменных хk заменена на xk+1

Слайд 19

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод деления отрезка пополам

Слайд 20

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод деления отрезка пополам

Слайд 21

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод золотого сечения

Слайд 22

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод Фибоначчи

Слайд 23

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод Фибоначчи (продолжение)

Слайд 24

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод квадратичной интерполяции

Слайд 25

Описание слайда:

Одномерная оптимизация. Метод квадратичной интерполяции (продолжение)

Слайд 26

Описание слайда:

Интерполяционный полином Лагранжа

Слайд 27

Описание слайда:

Линейная задача наименьших квадратов (МНК) Функция y=f(x) задана таблицей приближенных значений yi≈f(xi), i=0..n Для аппроксимации используется линейная модель: y=m(x)=a00(x)+a1  1(x)+…+amm(x) Где  i(x) – базисные функции, аi – параметры модели. Для полиномиальной модели k=xk: y=Pm(x)=a0+a1x+…+amxm При m=n многочлен МНК совпадает с интерполяционным многочленом. Как правило, при использовании метода МНК m≤n.

Слайд 28

Описание слайда:

Метод МНК (продолжение) Из различных критериев выбора параметров ai наиболее часто используется критерий наименьших квадратов. Согласно ему минимизируется среднеквадратичное отклонение:

Слайд 29

Описание слайда:

Метод МНК (продолжение) Опуская промежуточные выкладки, для получения параметров ai требуется решить СЛАУ:

Слайд 30

Описание слайда:

Метод МНК (продолжение) Для m=1, P1=a0+a1x Нормальная система имеет вид:

Слайд 31

Описание слайда:

Интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников Формула трапеций Формула Симпсона (парабол)

Слайд 32

Описание слайда:

Квадратурные формулы Квадратурные формулы: Хi – узлы; Аi – веса;

Слайд 33

Описание слайда:

Квадратурные формулы (продолжение) Целесообразно отказаться от равноотстоящих узлов и преобразовать:

Слайд 34

Описание слайда:

Квадратурная формула Чебышева При Аi  A = 2/n и таких ti, что формула точна для многочленов степени n на отрезке [-1;1], она преобразуется к виду:

Слайд 35

Описание слайда:

Квадратурная формула Гаусса При неравенстве Аi друг другу квадратурная формула имеет более общий вид. Узлами её являются корни многочлена Лежандра, n(t), а веса находятся интегрированием базисных многочленов Лежандра. Общая формула для квадратур Чебышева и Гаусса на интервале [a,b]

Слайд 36

Описание слайда:

Узлы и веса для квадратур Чебышева и Гаусса

Слайд 37

Описание слайда:

Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ 1-го порядка: y’=f(x,y), x[x0,b] Начальное условие – y(x0)=y0 Метод Эйлера: yi+1=yi+h*f(xi,yi), i=0..n Метод Эйлера-Коши (Хьюна): yi+1=yi+h/2*(f(xi,yi)+f(xi+1,yi+hf(xi,yi))), i=0..n Метод Рунге-Кутта 4-го порядка: