🗊Презентация Обзорные лекции по математике. Векторы

Обзорные лекции по математике Володин Юрий Владимирович доцент кафедры прикладной математики

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Система координат Определение 1. Прямая, служащая для изображения действительных чисел, в которой выбрана начальная точка О , единица измерения и положительное направление, называется числовой прямой (числовой осью). Точка М этой прямой характеризуется определенным числом – координатой , т.е.

Определение 2. Две взаимно перпендикулярные оси , имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости. Определение 2. Две взаимно перпендикулярные оси , имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости.

Определение 3. Три взаимно перпендикулярные оси , имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат в пространстве . Определение 3. Три взаимно перпендикулярные оси , имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат в пространстве . Ось называется осью аппликат. Любая точка характеризуется тройкой чисел, называемых ее координатами, т.е. называется абсциссой, - называется ординатой, аппликатой точки М.

О П Р Е Д Е Л Е Н И Я 1. Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. 2. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка АВ. Используется обозначение: . 3. Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых (коллинеарны) и направлены в одну сторону (сонаправлены). 4. Проекцией вектора на ось называются число, обозначаемое , вычисляемое по формуле: .

Определение. Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называется нулевым и обозначается . Определение. Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называется нулевым и обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю.

5. Направляющими углами вектора называются углы между ним и координатными осями: 5. Направляющими углами вектора называются углы между ним и координатными осями: 6. Косинусы направляющих углов называются направляющими косинусами вектора: 7. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора и обозначаются, соответственно, . З а м е ч а н и е 1. Для любого вектора верно равенство: - единичные векторы, сонаправленные с соответствующей осью.

Вектор также обозначается Вектор также обозначается З а м е ч а н и е 2. Для любого вектора верны равенства: З а м е ч а н и е 3. У равных векторов равны соответствующие координаты: З а м е ч а н и е 4. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

З а м е ч а н и е 5. Длина вектора через координаты определяется по формуле: З а м е ч а н и е 5. Длина вектора через координаты определяется по формуле: Если известны координаты точек и то

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Сложение: Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов. 2) Вычитание:

3) Умножение вектора на скаляр 3) Умножение вектора на скаляр 4) Скалярное произведение двух векторов. О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением двух векторов называется число, обозначаемое , вычисляемое по формуле , где угол между векторами . Если известны координаты векторов , то

Свойства скалярного произведения 1. 2. 3. 4. 5.

Пример

Решение. По определению Найдем длины векторов и . По формуле найдем Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

Скалярное произведение Скалярное произведение Угол между векторами определяется равенством: Откуда