🗊Презентация Оценка параметров распределения по эмпирическим данным (лекция 4)

Оценка параметров распределения по эмпирическим данным (Ахметов С.К.)

Определения Генеральная совокупность – это совокупность всех возможных значений СВ Выборка – это конечный набор значений СВ, полученный в результате наблюдений Репрезентативная выборка – это выборка, которая достаточно полно характеризует генеральную совокупность Задача статистических методов – определить свойства СВ в целом на основании анализа выборки Статистические оценки (mx*, σx*, Dx* и т.д.) – это числовые характеристики СВ, полученные по эмпирическим данным.

Требования к свойствам статистических оценок  1. Оценка G* = f(x1, x2, x3,….,x) – неизвестного параметра G называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n она стремиться к оцениваемому значению G, т.е.

Эмпирические кривые обеспеченностей Эмпирическая кривая обеспеченности - это функция обеспеченности, построенная по эмпирическим данным. Возможны два способа построения эмпирической кривой обеспеченности.   Первый способ – при наличии большого числа наблюдений Второй способ – при наличии небольшого числа наблюдений

Последовательность построения эмпирической кривой обеспеченности при большом числе наблюдений Определяется амплитуда (размах R) колебаний СВ 2. Разбивается амплитуда колебаний на k равных интервалов. Величина k примерно рассчитывается по формуле k ≈ 5ln(n) 3. Определяется длина расчетного интервала по формуле l = R/k В левой границы первого интервала принимается значение большее или равное максимальному значению СВ. Тогда значение правой границы первого интервала будет равно разнице между левой границей и длиной расчетного интервала. Левая граница каждого последующего интервала должна быть меньше на 1 соответствующей правой границы интервала

Последовательность построения эмпирической кривой обеспеченности при большом числе наблюдений (продолжение) 4. Подсчитывается число случаев попадания СВ в каждый интервал (по этим данным можно построить график эмпирических частот) 5. Рассчитывается относительная частота попадания СВ в каждый интервал по формуле p* = (mi/n) •100%   где mi – число попаданий СВ в i – й интервал   Значения p* последовательно суммируются и умножаются на 100% (по этим данным можно построить график эмпирической кривой обеспеченности) В гидрологии значения СВ принято откладывать по вертикали, а значение вероятности р – по горизонтали.

Гистограмма эмпирических частот и эмпирическая кривая обеспеченностей  

Последовательность построения эмпирической кривой обеспеченности при небольшом числе наблюдений 1. Ряд наблюдений располагается в убывающем или возрастающем порядке. В гидрологии – в убывающем порядке. 2. Приближенно вычисляется обеспеченность по формуле:

Методы расчета оценок параметров распределения Для построения аналитической кривой нужно оценить по эмпирическим данным параметры распределения. Обычно, это МО, СКО, Cv, Cs или Cv/Cs   Эти методы расчета условно делят на аналитические, графоаналитические и графические. К числу аналитических методов относятся метод моментов и метод наибольшего правдоподобия.

Метод моментов При методе расчет теоретических моментов заменяется на расчет эмпирических моментов. При этом вместо N → ∞ берется конечное число значений СВ - n, а теоретическая вероятность pi заменяется на расчетную pi = 1/n. Эмпирический начальный αs* и центральный μs* моменты S го порядка определяются по формулам

Метод моментов Поэтому для расчетов используется формула где SH2 и SC2 – соответственно несмещенная и смещенная оценки дисперсии; n/(n-1) – поправка на смещенность

Метод наибольшего правдоподобия (МНП) Для нахождения оценок методом наибольшего правдоподобия нужно, прежде всего, построить функцию правдоподобия Для этого делаются следующие последовательные шаги: 1. Заданная аналитическая функция распределения вероятности логарифмируется. Берется натуральный логарифм. 2. Создается функция правдоподобия путем интегрирования прологарифмированной функции плотности вероятности 3. Затем для каждого параметра распределения создается своя функция правдоподобия путем дифференцирования полученной функции распределения по требуемому параметру и приравнивается к нулю, чтобы найти ее максимум. 4. Из полученных уравнений находятся оценки, например МО и СКО.

МНП для нормальной функции распределения  Функция плотности вероятности для нормального распределения

МНП для нормальной функции распределения

МНП для кривой Крицкого - Менкеля Для кривой Крицкого и Менкеля параметры Cs и Cv определяются с помощью специально разработанных номограмм как функций вспомогательных статистик λ2 и λ3.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!