Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница

Нажмите для полного просмотра!

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №2

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №3

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №4

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №5

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №6

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №7

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №8

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №9

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №10

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №11

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №12

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №13

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №14

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №15

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №16

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница, слайд №17

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Доклад-сообщение содержит 17 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лектор Янущик О.В.

Слайд 2

Описание слайда:

ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения §1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область (σ)  xOy , ограниченная отрезком [a;b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и кривой y = f(x), называется криволинейной трапецией с основанием [a;b] .

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути). ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути). Пусть точка движется по кривой и ее скорость изменяется по закону v = f(t). Найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] . РЕШЕНИЕ. 1) Разобьем [T1 ; T2] на n частей точками t0 = T1 , t1 , t2 , … , tn = T2 (где t0

Слайд 5

Описание слайда:

2. Определенный интеграл: определение и условие его существования Пусть f(x) задана на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Разобьем [a;b] на n частей точками x0 = a , x1 , x2 , … , xn = b , где x0

Слайд 6

Описание слайда:

Пусть Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,i) при   0 , если для любого  >0 существует  >0 такое, что для любого разбиения отрезка [a;b] у которого 

Слайд 7

Описание слайда:

Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие интегрируемости функции на [a;b]). Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] , то она на этом отрезке ограничена. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости функции на [a;b]). Для интегрируемости функции f(x) на [a;b] , достаточно выполнения одного из условий: 1) f(x) непрерывна на [a;b]; 2) f(x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва; 3) f(x) монотонна и ограничена на [a;b].

Слайд 8

Описание слайда:

Замечание. Определяя определенный интеграл, полагали a

Слайд 9

Описание слайда:

3. Свойства определенного интеграла 1) Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) – непрерывна на [a;b] и f(x)  0 , x[a;b] , то где S – площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b] и ограниченной сверху кривой y = f(x). 2) Физический смысл определенного интеграла Если функция v = f(t) задает скорость движущейся точки в момент времени t , то определяет путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] .

Слайд 10

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 11

Описание слайда:

6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a;c] и [c;b], то 6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a;c] и [c;b], то (1) Замечание. Формула (1) будет иметь место и в том случае, когда точка c лежит не внутри отрезка [a;b], а вне его. 7) Если f(x) > 0 (f(x)  0) x[a;b] , то 8) Если f(x)  (x) x[a;b] , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Слайд 12

Описание слайда:

9) Следствие свойств 8 и 3. 9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то 10) Если f(x) – нечетная функция, то Если f(x) – четная функция, то

Слайд 13

Описание слайда:

11) Теорема о среднем. 11) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то в интервале (a;b) найдется такая точка c, что справедливо равенство ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 14

Описание слайда:

§2. Вычисление определенных интегралов 1. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(t) непрерывна на [a;b]. Тогда f(t) непрерывна на [a;x], где a  x  b .  f(t) интегрируема на [a;x], где a  x  b . Рассмотрим интеграл Имеем: , D(Φ(x)) = [a;b] .

Слайд 15

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному верхнему пределу). ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному верхнему пределу). Функция Φ(x) дифференцируема на [a;b], причем Φ (x) = f(x) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 2. Любая непрерывная на [a;b] функция имеет на [a;b] первообразную.

Слайд 16

Описание слайда:

Имеем: Φ(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b] . Имеем: Φ(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b] . Пусть F(x) – еще одна первообразная для f(x) на [a;b] . Тогда F(x) и Φ(x) будут отличаться постоянным слагаемым (см. §23 теорема 2, I семестр), т.е. (1) где a  x  b , C – некоторое число. Полагаем x = a . Тогда из (1) получим  0 = F(a) + C ,  C = – F(a) . Следовательно, (1) можно переписать в виде

Слайд 17

Описание слайда:

Полагая x = b получаем: Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона – Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято сокращенно записывать в виде Символ называют знаком двойной подстановки. Используя это обозначение, формулу (2) можно переписать в виде Замечание. В формуле (2) можно взять любую из перво- образных функции f(x), так как F(b) – F(a) не зависит от выбора первообразной.