🗊Презентация Определённый интеграл и его свойства

Определённый интеграл и его свойства

Определение Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 ,x2], …, [xi-1 , xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим :  ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков[xi-1 , xi] выберем произвольную точку  и составим сумму .  Сумма  называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функцииf(x) по отрезку [a,b] и обозначается . 

Геометрический смысл если f(x) >0 на отрезке [a,b], то  равен площади криволинейной трапецииABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Формула Ньютона-Лейбница Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .  Док-во. Мы установили, что функция  - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x =a. Так как , то . В равенстве  переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .  Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:  (здесь  читается как “ подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . 

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница ,   откуда и следует доказываемое равенство.  Пример: 

 Замена переменной в определённом интеграле.  Пусть функция  определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , , функция  непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда

Свойства определенного интеграла