🗊Презентация Основные алгебраические структуры. (Глава 3)

АЛГЕБРА

ГЛАВА III. Основные алгебраические структуры Лит-ра: [1], стр. 31-65. § 0. Бинарные алгебраические операции и их свойства § 1. Понятие полугруппы и моноида, их простейшие свойства § 2. Понятие группы и его простейшие cвойства § 3. Понятие кольца и его простейшие свойства § 4. Понятие поля и его простейшие свойства § 5. Подструктуры § 6. Изоморфизм алгебраических структур

§ 1. Понятие полугруппы и моноида, их простейшие свойства

§ 1. Понятие полугруппы и моноида, их простейшие свойства

§ 1. Понятие полугруппы и моноида, их простейшие свойства Примерами моноидов являются числовые множества N, Z, Q, R относительно обычного умножения и Z, Q, R относительно обычного сложения. Важнейшими примерами моноидов являются свободные моноиды, которые широко применяются в теориях формальных языков, кодов и криптографии.

Свободные моноиды и полугруппы Пусть дано некоторое непустое множество A, которое будем называть алфавитом. Элементы множества А условимся называть буквами. Под словом в алфавите А будем понимать любой конечный упорядоченный набор необязательно различных букв. Условимся рассматривать и пустое слово, которое будем обозначать буквой е. Длиной слова называется число l(w) всех букв в его записи, в частности, l(e)=0 .

Свободные моноиды и полугруппы Обозначим через A* множество всех слов в алфавите А. Определим на этом множестве операцию приписывания (контактенации) слов: x1x2…xk  y1y2…ym = x1x2…xky1y2…ym, где k, m – любые натуральные числа, а x1, x2, … , xk , y1, y2, … , ym – произвольные буквы; кроме того, для любого слова w и пустого слова e положим w  e = e  w = w.

Свободные моноиды и полугруппы Легко понять, что относительно так определенной операции умножения множество A* является моноидом (его называют свободным моноидом над алфавитом А). а множество А+ всех непустых слов - полугруппой (её называют свободной полугруппой над алфавитом А). Главным свойством, характеризующим свободные моноиды и полугруппы, является однозначное представление их непустых слов в виде произведения букв алфавита А.

Свободные моноиды и полугруппы Свободные моноиды широко используются в теории алфавитного кодирования. Подмножество С свободного моноида А* называется кодом над А, если любое слово в алфавите С имеет только одно представление в виде произведения элементов из С. Например, если А = {a,b}, то подмножество С = {a2, a3} моноида А* не является кодом над А*, так как a6 = a2 · a3 = a3 · a2 и однозначность представления нарушается, а подмножество Сn= {abk | k =1,2,..,n } при любом натуральном n, как нетрудно понять, является кодом над С.

Свободные моноиды и полугруппы Последнее позволяет с помощью двухбуквенного алфавита закодировать любой конечный алфавит, следовательно, и любое сообщение в нем. Однозначность представления слов через элементы кода обеспечивают безошибочное восстановление исходной информации, т.е. декодирование. Это обстоятельство широко используется при передаче информации по каналам связи. Обычно используется алфавит {0,1}. Это объясняется удобством интерпретации этого алфавита при передачи двоичной информации по каналам связи, напр., разной частотой для передачи 1 и 0.

Свободные моноиды и полугруппы Для кодирования русского алфавита можно использовать код : А – 01, Б – 011, В – 0111, Г – 01111, Д – 011111 и т.д. Например, слово ГАД будет закодировано при этом следующим образом: 0111101011111. Для декодирования надо найти цифру 0 и все единицы правее ее до следующего нуля и восстановить соответствующую букву.

Произведение элементов в полугруппе Пусть S – мультипликативная полугруппа. Нетрудно понять, что каким бы образом не расставляли скобки при выполнении умножения выбранных n элементов a1, a2, … , an полугруппы S, ввиду ассоциативности операции умножения всегда будем получать один и тот же элемент полугруппы S. Поэтому скобки можно опускать, обозначать этот элемент через a1a2 …an и называть произведением элементов a1, a2, … , an. Таким образом, произведение элементов в полугруппе не зависит от расстановки скобок.

Натуральная степень элемента в мультипликативной полугруппе В случае, когда все сомножители произведения равны между собой и равны элементу a полугруппы S, то говорят об n-й степени элемента a в полугруппе S, которую обозначают an , т.е. . Для моноидов полагают a0=e, где e – единица моноида.

Св-ва натуральной степени элемента в мультипликативной полугруппе Легко убедиться в том, что для любого элемента a полугруппы S и любых натуральных чисел k и m справедливы равенства ak  am = am  ak = ak+m, (1) (ak)m = akm. (2) В случае моноидов аналогичные равенства выполняются для любых неотрицательных целых чисел k и m.

Натуральное кратное элемента в аддитивной полугруппе и его св-ва Целое кратное в аддитивной полугруппе определяется по аналогии с целой степенью в мультипликативной полугруппе: Для аддитивных моноидов полагают 0a = 0, где 0 – нуль моноида. В частности, для любого элемента a аддитивной полугруппы S и любых натуральных чисел k и m справедливы равенства ka+ma=(k+m)a, (1’) k(ma)=(km)a. (2’) В случае аддитивных моноидов аналогичные равенства выполняются для любых неотрицательных целых чисел k и m.

§ 2. Понятие группы и его простейшие cвойства

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Понятие группы является одним из важнейших понятий современной математики. Группы вездесущи: алгебра, геометрия, математический анализ, теоретическая физика, теория линейных кодов, криптография, кристаллография – вот неполный перечень тех областей науки, где применяются группы. Термин «группа» введен французским алгебраистом Э.Галуа (1811–1832) в 1832 г.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Можно доказать единственность нейтрального и симметричного элементов в группе.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Понятие группы можно определить, используя понятие моноида. Понятие группы можно определить через понятие полугруппы, предварительно доказав следующее утверждение.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства На самом деле, легко видеть, что в любой группе уравнения (*)однозначно разрешимы: x0 = a*  b; y0 = b  a*; в этом случае говорят, что операция в группе обратима. Кроме того, операция в группе обладает свойством сократимости, т.е. a  c = b  c  a = b и c  a = c  b  a = b.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства ( В честь норвежского математика Н.Х.Абеля, впервые уделившего много внимания таким группам.)

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Если число элементов группы G конечно, то группа G называется конечной; число элементов конечной группы обозначается символом |G| и называется порядком группы G. Если число элементов группы G бесконечно, то группа G называется бесконечной; при этом говорят, что группа G имеет бесконечный порядок и пишут |G| = .

§ 1. Понятие полугруппы и моноида, их простейшие cвойства При изучении групп операцию зачастую называют сложением или умножением и обозначают знаками + или  (иногда, чтобы не путать с арифметическим сложением или умножением, знаками  или ); в первом случае говорят, что принята аддитивная терминология, во втором – мультипликативная терминология. В общем случае придерживаются мультипликативной терминологии (в теории абелевых групп предпочитают аддитивную терминологию), что мы и будем в дальнейшем делать. Для перехода от одной терминологии к другой можно пользоваться следующим словариком.

Словарик перехода от одной терминологии к другой

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Пример 1. Числовые множества Z, Q, R соответственно целых, рациональных и действительных относительно обычной операции сложения, и множества Q-1= Q\{0}, R-1 = R\{0} относительно умножения являются бесконечными абелевыми группами. Пример 2. Пример мультипликативной группы порядка 2 доставляет множество C2 = {1,-1} относительно обычного умножения, а пример аддитивной группы порядка 2 дает множество Z2 = {0,1} относительно сложения по модулю 2: Обе эти группы абелевы.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Полезно иметь в виду следующее утверждение. ◘ Пусть a, b – произвольные элементы из M . Докажем сначала замкнутость множества M-1 относительно операции  умножения моноида М, т.е., что элемент a b обратим в М. Для этого достаточно проверить, что элемент b-1 a-1 является обратным для a  b : (a  b) (b-1 a-1) = a  (bb-1)  a-1 = ae a-1 =e. Аналогично проверяется, что (b-1 a-1)  (a  b) = e.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства ◘ Далее, ассоциативность операции умножения в M-1 следует из ассоциативности ее в моноиде M. Единица моноида М обратима (e  e = e) и потому e  M-1. Наконец, элементы a и a-1 взаимно обратные и, следовательно, a-1  M-1. Таким образом, M-1 – группа. ◙ Например, Z-1 = {-1, 1 } – группа всех обратимых элементов моноида (Z, ).

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Легко проверяется, что в любой группе (G; ) истинны следующие свойства: (x*)* = x, (1) (x  y)* = y*  x*. (2) В случае если принята мультипликативная терминология, свойства (1) и (2) переписываются в более привычной форме (x-1)-1 = x, (1’) (xy)-1 = y-1x-1. (2’)  Обратим внимание на то, что при взятии обратного элемента для произведения порядок сомножителей в правой части равенства (2’) меняется на обратный. В абелевых группах это не имеет значения.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства (xy)-1 = y-1x-1. (2’) Свойство (2’) по индукции распространить на любое конечное число сомножителей: . (2’')

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Поскольку любая группа является моноидом, то в группе можно говорить о любой неотрицательной целой степени любого ее элемента. На самом деле, в группе можно определить целую степень любого ее элемента. Определение 4. Для любого целого числа n и любого элемента a группы G n-я степень a есть:

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Можно проверить, что для любого элемента a группы G и любых целых чисел k и m справедливы равенства ak  am= am  ak= ak+m, (3) (ak)m = akm. (4) Доказательство этих равенств проводится непосредственным перебором всех возможных случаев, учитывая, что для неотрицательных целых чисел эти свойства справедливы в любом моноиде.

§ 2. Понятие группы и его простейшие свойства Целое кратное в аддитивной группе определяется по аналогии с целой степенью в мультипликативной группе: В частности, для любого элемента a аддитивной группы G и любых целых чисел k и m справедливы равенства ka + ma = (k + m)a, (3’) k(ma) = (km)a. (4’)

Симметрическая группа подстановок n-й степени До сих пор мы приводили примеры абелевых групп. Большой спектр примеров не абелевых конечных групп доставляют группы подстановок, к рассмотрению которых мы и перейдем. Напомним, что взаимно-однозначное отображение множества M = {1,2,…,n} на себя называется подстановкой n-й степени. Каноническая запись подстановки: , где k1, k2, … , kn – перестановка множества M. Очевидно, что число всех подстановок n-множества M равно числу перестановок этого множества и, следовательно, равно n!

Симметрическая группа подстановок n-й степени Пусть Sn обозначает множество всех подстановок n-й степени. Рассмотрим на этом множестве операцию умножения преобразований, заключающуюся в их последовательном выполнении (суперпозиции) отображений. А именно, для любых подстановок  и  из Sn и любого элемента x M имеем (  )(x) = ((x)). Обратим внимание на то, что сначала действует вторая подстановка, а затем первая. Например, если , , то .

Симметрическая группа подстановок n-й степени Легко понять, что произведение любых двух подстановок n-ой степени будет снова подстановкой n-ой степени и умножение подстановкой n-й степени ассоциативно. Отсюда следует, что множество Sn относительно умножения подстановок является полугруппой. Легко понять, что роль единицы в полугруппе (Sn; ) играет тождественная подстановка и поэтому (Sn; ) - моноид.

Симметрическая группа подстановок n-й степени Наконец, для любой подстановки существует обратная к ней подстановка . Таким образом, множество Sn всех подстановок n-й степени относительно умножения подстановок является группой, которая и называется симметрической группой подстановок n-ой степени.

Симметрическая группа подстановок n-й степени Заметим, что группа Sn конечна, она содержит n! подстановок. При n > 2 группа Sn некоммутативна. В самом деле, в этом убеждает нас следующий пример. Пусть , . Тогда , а .