🗊 Презентация Основные понятия дифференциальных уравнений

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №1 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №2 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №3 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №4 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №5 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №6 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №7 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №8 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №9 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №10 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №11 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №12 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №13 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №14 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №15 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №16 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №17 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №18 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №19 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №20 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №21 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №22 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №23 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №24 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №25 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №26 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №27 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №28 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №29 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №30 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №31 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №32 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №33 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №34 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №35 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №36 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №37 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №38 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №39 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №40 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №41 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №42 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №43 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №44 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №45 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №46 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №47 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №48 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №49 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №50 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №51 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №52 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №53 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №54 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №55 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №56 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №57 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №58 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №59 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №60 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №61 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №62 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №63 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №64 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №65 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №66 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №67 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №68 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №69 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №70 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №71 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №72 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №73 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №74 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №75 Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №76
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные понятия дифференциальных уравнений. Доклад-сообщение содержит 76 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Математика ППИ. ЛЕКЦИЯ 15. Основные понятия дифференциальных уравнений
Описание слайда:
Математика ППИ. ЛЕКЦИЯ 15. Основные понятия дифференциальных уравнений

Слайд 2


Учебные вопросы 1. Введение в теорию ДУ: задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. 2.Обыкновенные дифференциальные уравнения,...
Описание слайда:
Учебные вопросы 1. Введение в теорию ДУ: задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. 2.Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение). 3.Дифференциальные уравнения первого порядка.

Слайд 3


4. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений. 5. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.
Описание слайда:
4. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений. 5. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.

Слайд 4


Литература [2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90; [3] Б.П. Демидович, В.А....
Описание слайда:
Литература [2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90; [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.

Слайд 5


1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную,...
Описание слайда:
1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания. Решение. Пусть уравнение искомой кривой y=f(x).

Слайд 6


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №6
Описание слайда:

Слайд 7


Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он равен производной от y по x, так что С другой стороны, по условию задачи имеем . Приравнивая значения...
Описание слайда:
Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он равен производной от y по x, так что С другой стороны, по условию задачи имеем . Приравнивая значения tg α, получим

Слайд 8


Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет .
Описание слайда:
Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет .

Слайд 9


Все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения задаются формулой .
Описание слайда:
Все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения задаются формулой .

Слайд 10


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №10
Описание слайда:

Слайд 11


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №11
Описание слайда:

Слайд 12


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №12
Описание слайда:

Слайд 13


Отсюда имеем и Таким образом, искомой кривой будет парабола.
Описание слайда:
Отсюда имеем и Таким образом, искомой кривой будет парабола.

Слайд 14


Задача 2. Допустим, что в каждый момент времени t известна скорость v(t) точки, движущейся по оси OX, где v(t) - функция, непрерывная на (a,b).
Описание слайда:
Задача 2. Допустим, что в каждый момент времени t известна скорость v(t) точки, движущейся по оси OX, где v(t) - функция, непрерывная на (a,b).

Слайд 15


Кроме того, известно значение х0 положения точки в определенный момент времени t0 . Требуется найти закон движения точки.
Описание слайда:
Кроме того, известно значение х0 положения точки в определенный момент времени t0 . Требуется найти закон движения точки.

Слайд 16


Решение. Положение точки определяется одной координатой х и задача состоит в том, чтобы выразить х как функцию от t . Принимая во внимание...
Описание слайда:
Решение. Положение точки определяется одной координатой х и задача состоит в том, чтобы выразить х как функцию от t . Принимая во внимание механический смысл первой производной, мы получим равенство

Слайд 17


Как известно из интегрального исчисления
Описание слайда:
Как известно из интегрального исчисления

Слайд 18


Так как в формулу входит произвольная постоянная C, то мы ещё не получили определённого закона движения точки.
Описание слайда:
Так как в формулу входит произвольная постоянная C, то мы ещё не получили определённого закона движения точки.

Слайд 19


Поскольку движущаяся точка принимает положение х0 в заданный момент времени t0, то
Описание слайда:
Поскольку движущаяся точка принимает положение х0 в заданный момент времени t0, то

Слайд 20


Итак, закон движения точки имеет вид .
Описание слайда:
Итак, закон движения точки имеет вид .

Слайд 21


Учебный вопрос. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).
Описание слайда:
Учебный вопрос. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).

Слайд 22


ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется выражение...
Описание слайда:
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется выражение вида: где х – независимая переменная; у(х) – неизвестная функция; – производные искомой функции.

Слайд 23


Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Например,
Описание слайда:
Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Например,

Слайд 24


Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.
Описание слайда:
Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Слайд 25


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №25
Описание слайда:

Слайд 26


Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.
Описание слайда:
Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Слайд 27


Учебный вопрос. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Описание слайда:
Учебный вопрос. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Слайд 28


Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую...
Описание слайда:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную: , где

Слайд 29


Если уравнение разрешить относительно производной , то получим уравнение нормального вида:
Описание слайда:
Если уравнение разрешить относительно производной , то получим уравнение нормального вида:

Слайд 30


Учебный вопрос. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ
Описание слайда:
Учебный вопрос. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ

Слайд 31


ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ Определение. Решение у=φ(х,С), которое зависит от независимой переменной х и...
Описание слайда:
ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ Определение. Решение у=φ(х,С), которое зависит от независимой переменной х и произвольной постоянной, называется общим решением ДУ первого порядка.

Слайд 32


Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном значении произвольной постоянной, называется частным решением ДУ первого порядка.
Описание слайда:
Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном значении произвольной постоянной, называется частным решением ДУ первого порядка.

Слайд 33


Задача Коши для уравнения состоит в том, чтобы найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию
Описание слайда:
Задача Коши для уравнения состоит в том, чтобы найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Слайд 34


Уравнение в каждой точке M (x , y) области, где определено его решение у=φ(х ,С ), задаёт направление касательной к интегральной кривой. В итоге мы...
Описание слайда:
Уравнение в каждой точке M (x , y) области, где определено его решение у=φ(х ,С ), задаёт направление касательной к интегральной кривой. В итоге мы получаем целое поле направлений.

Слайд 35


Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M(x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен
Описание слайда:
Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M(x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен

Слайд 36


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №36
Описание слайда:

Слайд 37


ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Определение. ДУ первого порядка называется уравнением с разделенными переменными, если его...
Описание слайда:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Определение. ДУ первого порядка называется уравнением с разделенными переменными, если его можно представить в виде

Слайд 38


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №38
Описание слайда:

Слайд 39


Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение.
Описание слайда:
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение.

Слайд 40


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №40
Описание слайда:

Слайд 41


Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.
Описание слайда:
Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Слайд 42


В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим - это уравнение с разделенными переменными.
Описание слайда:
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим - это уравнение с разделенными переменными.

Слайд 43


Общим интегралом будет
Описание слайда:
Общим интегралом будет

Слайд 44


ЗАМЕЧАНИЕ Мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение R(x)Q(y), а именно Q(y)=0, отсюда yk= ak ,где ak – const.
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЕ Мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение R(x)Q(y), а именно Q(y)=0, отсюда yk= ak ,где ak – const.

Слайд 45


Если решения yk= ak получаются из общего при подходящем выборе С, то такие решения будут частными, если же подобрать нужное С невозможно, то они...
Описание слайда:
Если решения yk= ak получаются из общего при подходящем выборе С, то такие решения будут частными, если же подобрать нужное С невозможно, то они называются особыми решения.

Слайд 46


Пример. Найти общий интеграл и частное решение уравнения удовлетворяющее условию . Решение. Делим на , тогда
Описание слайда:
Пример. Найти общий интеграл и частное решение уравнения удовлетворяющее условию . Решение. Делим на , тогда

Слайд 47


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №47
Описание слайда:

Слайд 48


-общий интеграл. Подставим начальное условие и найдем С: .
Описание слайда:
-общий интеграл. Подставим начальное условие и найдем С: .

Слайд 49


Частное решение Особое решение так как
Описание слайда:
Частное решение Особое решение так как

Слайд 50


Учебные вопросы 6. Однородные и линейные уравнения 1 порядка. 7. Уравнения Бернулли 1-го порядка. 8. Дифференциальные уравнения высших порядков,...
Описание слайда:
Учебные вопросы 6. Однородные и линейные уравнения 1 порядка. 7. Уравнения Бернулли 1-го порядка. 8. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.

Слайд 51


Учебный вопрос. Однородные и линейные уравнения 1 порядка.
Описание слайда:
Учебный вопрос. Однородные и линейные уравнения 1 порядка.

Слайд 52


Однородные уравнения 1-го порядка. Определение. Дифференциальеное уравнение 1 порядка называется однородным ДУ-1, если f(x,y) может быть представлена...
Описание слайда:
Однородные уравнения 1-го порядка. Определение. Дифференциальеное уравнение 1 порядка называется однородным ДУ-1, если f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. или f(λx,λy)=f(x,y), где λ – const.

Слайд 53


1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью следующей замены: , т.е. у=zх, отсюда у’=z’x+z . 2) После...
Описание слайда:
1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью следующей замены: , т.е. у=zх, отсюда у’=z’x+z . 2) После подстановки у, у’ в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция z(x). 3)После интегрирования в общем решении необходимо z заменить на отношение .

Слайд 54


Пример Решить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ . Решение.
Описание слайда:
Пример Решить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ . Решение.

Слайд 55


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №55
Описание слайда:

Слайд 56


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №56
Описание слайда:

Слайд 57


Линейные уравнения первого порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: , где у(х) – неизвестная...
Описание слайда:
Линейные уравнения первого порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: , где у(х) – неизвестная функция. Это уравнение линейно относительно у и у’ . Если правая часть уравнения q(x) = 0, то получим уравнение , которое называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению.

Слайд 58


Рассмотрим линейное уравнение Неизвестную функцию у(х) будем искать в виде произведения неизвестных функций у(х)=u(x)∙v(x), тогда y’=u’v+uv’....
Описание слайда:
Рассмотрим линейное уравнение Неизвестную функцию у(х) будем искать в виде произведения неизвестных функций у(х)=u(x)∙v(x), тогда y’=u’v+uv’. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:

Слайд 59


Положим и найдем функцию v(x), решая это уравнение с разделяющи-мися переменными:
Описание слайда:
Положим и найдем функцию v(x), решая это уравнение с разделяющи-мися переменными:

Слайд 60


Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x) и ее производную = в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными . Решим его
Описание слайда:
Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x) и ее производную = в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными . Решим его

Слайд 61


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №61
Описание слайда:

Слайд 62


Пример Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию
Описание слайда:
Пример Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

Слайд 63


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №63
Описание слайда:

Слайд 64


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №64
Описание слайда:

Слайд 65


Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид: у = .
Описание слайда:
Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид: у = .

Слайд 66


Учебный вопрос. Уравнения Бернулли.
Описание слайда:
Учебный вопрос. Уравнения Бернулли.

Слайд 67


Уравнения Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида , где α ≠ 0, 1 называется уравнением Бернулли. 1)Предполагая, что у ≠ 0, разделим...
Описание слайда:
Уравнения Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида , где α ≠ 0, 1 называется уравнением Бернулли. 1)Предполагая, что у ≠ 0, разделим обе части уравнения Бернулли на уα. В результате получим:

Слайд 68


2) Введем новую функцию . Тогда 3) Умножим уравнение на (-α+1) и перейдем в нем к функции z(x):
Описание слайда:
2) Введем новую функцию . Тогда 3) Умножим уравнение на (-α+1) и перейдем в нем к функции z(x):

Слайд 69


4)Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методом множителей Бернулли. 5)Решив уравнение , подставим в его...
Описание слайда:
4)Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методом множителей Бернулли. 5)Решив уравнение , подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли можно также решить, не делая замены переменных, а сразу применяя метод множителей Бернулли.

Слайд 70


Пример Найти общее решение уравнения Решение.
Описание слайда:
Пример Найти общее решение уравнения Решение.

Слайд 71


Основные понятия дифференциальных уравнений, слайд №71
Описание слайда:

Слайд 72


Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
Описание слайда:
Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.

Слайд 73


Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия. Определение. Уравнением n-го порядка называется уравнение вида , (n>1) ....
Описание слайда:
Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия. Определение. Уравнением n-го порядка называется уравнение вида , (n>1) . Задача Коши уравнения n-го порядка ставится следующим образом: найти решение y=y(x) удовлетворяющее начальным условиям

Слайд 74


Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.
Описание слайда:
Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Слайд 75


Задание на самостоятельную работу Вспомнить таблицу основных интегралов. [2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва:...
Описание слайда:
Задание на самостоятельную работу Вспомнить таблицу основных интегралов. [2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90; [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.

Слайд 76


Изучить вопрос «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка» и выполнить конспект этого вопроса. (Н.С. Пискунов. Дифференциальное и...
Описание слайда:
Изучить вопрос «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка» и выполнить конспект этого вопроса. (Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. С.24-26)

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию