🗊Презентация Основные понятия вычислительной математики. Элементы теории погрешностей

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Предмет вычислительной математики. Основные понятия вычислительной математики: линейные, метрические и нормированные пространства, сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары. Полные метрические пространства. Примеры. Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры. Прямые и итерационные методы и алгоритмы.

Предмет вычислительной математики Математическая модель –приближенное математическое описание объекта (технологического процесса, реакции, явления и т.д.). Математическое моделирование, вычислительный эксперимент – для исследования на ЭВМ очень сложных процессов (натурный эксперимент не возможен). Основные этапы математического моделирования: Разработка модели – формализация. Разработка метода (алгоритма) для решения уравнений модели или определения ее параметров. Проведение необходимых расчетов (создание программ, тестирование, получение результатов). Анализ результатов – практическое использование.

Основные понятия: метрические пространства Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью. Отклонение истинного решения от приближенного называется погрешностью. Для оценки близости полученного решения к истинному необходимо ввести понятие расстояния (метрики) между парой элементов некоторого множества. Множество элементов одной природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние (метрика) , которое удовлетворяет следующим условиям: 1) - вещественное неотрицательное число 2) 3 - свойство симметрии 4) - неравенство треугольника

Линейные пространства Линейное пространство- частный случай метрического. В нем определены операции сложения элементов и умножения их на число, при этом выполнены аксиомы: 1) 2) 3) существует единственный такой, что 4) -единственный, такой, что 5) и 6) 7)

Линейные нормированные пространства. Линейное пространство L называется нормированным, если введена норма : 1) - вещественное число 2) где - вещественное число 3) Всякое нормированное пространство – метрическое. Метрика может быть введена следующим образом: В линейном метрическом пространстве норма – расстояние до нулевого элемента.

Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары. Полные метрические пространства. Последовательность элементов метрического пространства xn называется сходящейся (по метрике) к элементу x, если Последовательность xn называется фундаментальной, если найдется такое , что при всех Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того же пространства. Открытым (замкнутым) шаром с центром в точке x0 и радиусом r назовем множество точек метрического пространства , для которых - окрестность элемента - шар с центром в этой точке и радиусом

Примеры полных метрических пространств 1. R – множество вещественных чисел. и 2. Rn - пространство векторов с вещественными координатами а) б) в) 3. C [a, b ] – множество функций непрерывных на [a, b]

Примеры метрических пространств 4. L2 [a, b ] – множество функций интегрируемых с квадратом на [a, b] (неполное пространство) 5. Пространство квадратных матриц размера n. Норма матрицы согласована с нормой вектора, если а) , согласована с б) , согласована с

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Точность решения задачи оценивается абсолютной или относительной погрешностью. Абсолютная погрешность: где x*- точное решение, x - численное решение. Относительная погрешность: Полная погрешность вычислений состоит из двух составляющих: 1) неустранимая погрешность; 2) устранимая погрешность.

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Неустранимая погрешность обусловлена неточностью исходных данных (модели и ее параметров) и никаким образом не может быть уменьшена в процессе вычислений. Устранимая погрешность состоит из двух составляющих: а) погрешность аппроксимации (метода); б) вычислительная погрешность (погрешность округления). Эти составляющие могут быть уменьшены выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений. Задача вычисления y = A(x) называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (т. е. непрерывно зависит от входных данных задачи).

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Пусть решение y, соответствует входным данным x. Реально мы имеем возмущенные входные данные с погрешностью δx, т.е. x + δx и находим возмущенное решение: y + δy = A(x+δx). Эта погрешность входных данных порождает неустранимую погрешность решения: δy = A(x+δx) - A(x). Если решение непрерывно зависит от входных данных, то всегда при и задача устойчива по входным данным. Если небольшая погрешность в исходных данных влечет большую погрешность в решении – то задача плохо обусловлена .

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры Рассмотрим подробнее погрешность округления чисел, участвующих в вычислениях. В позиционной системе счисления с основанием r запись означает, что Здесь r – целое число, большее единицы. Каждое из чисел может принимать одно из значений {0, 1, …, r-1}. Числа называются разрядами. Эта запись вещественного числа называется также его представлением в форме числа с фиксированной запятой.

Элементы общей теории погрешностей и компьютерной арифметики. Основные определения, утверждения, примеры В ЭВМ чаще всего используется представление чисел в форме с плавающей запятой. Так как наиболее часто в компьютерах применяется двоичная система с плавающей запятой, то вещественное число можно представить виде Здесь p - целое число и называется порядком числа a, - мантисса Ограничения на порядки чисел, представляемых в ЭВМ , порой приводят к прекращению вычислений (так называемое исчезновение порядка); в других случаях относительно небольшая разрядность представления чисел в ЭВМ приводит к недопустимому искажению результата вычислительной погрешностью.

Примеры Пример 1. Необходимо отыскать минимальный корень уравнения. Вычисления производим в десятичной системе счисления, причем в числе после округления оставляем четыре действующие цифры (разряда): Рассмотрим другой алгоритм вычисления корня, для чего избавимся от иррациональности в числителе

Примеры Как видно из сравнения полученных результатов, применение "неудачного" алгоритма завышает результат на 30 %. Это явление в практике вычислений называется потерей значащих цифр, и часто наблюдается при вычитании близких величин. Потеря значащих цифр, например, довольно часто приводит к существенному искажению результатов при решении даже сравнительно небольших систем линейных алгебраических уравнений.

Примеры Пример 2 Требуется вычислить: Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х значащих цифр, получим значение с: 0,476 0,411 1,47 26,2 83, 111,557  112. ЭВМ выполняет действия поочередно (складывает пару чисел) и округляет результат после каждого действия. Выполним суммирование слева направо в порядке записи (как ЭВМ): + 0,476 + 0,887 + 2,36 + 28,6 0,411 1,47 26,2 83, 0,887  0,887 2,3572,36 28,56 28,6 111,6  112.

Примеры Пусть теперь выражение записано в обратном порядке: Выполним суммирование как ЭВМ: + 83 + 109 + 110 + 110 26,2 1,47 0,411 0,476 109,2  109 110,47  110 110,411  110 110,476  110 От перестановки слагаемых сумма изменилась, то есть

Погрешности арифметических операций Погрешность вычисления функций:

Рекомендации для снижения ошибок округления: В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и дистрибутивности (распределительный) не всегда соблюдаются. При сложении и вычитании последовательности чисел действия необходимо начинать с наименьших по абсолютной величине значений. Следует избегать вычитания двух близких чисел, преобразуя выражения. Количество арифметических действий для решения задачи нужно сводить к минимуму. Для уменьшения ошибки округления расчеты следует проводить с повышенной разрядностью

При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующее Погрешность метода должна быть на порядок меньше неустранимой погрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи. Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы: Решить задачу различными численными методами и результаты сравнить. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения являются неустойчивым – выбрать другой.

Прямые и итерационные методы и алгоритмы решения математических задач Прямые и итерационные методы решения математических задач. Основные определения Преимущества, недостатки и особенности реализации

Прямые (точные) численные методы и алгоритмы Решение будет получено за конечное число шагов; Количество шагов и процедура вычисления на каждом шаге строго определены. Если предположить, что вычислительная погрешность равна нулю, то такие методы дали бы точный результат. (Примеры – формулы для решения квадратных уравнений, простейших тригонометрических уравнений).

Итерационные численные методы и алгоритмы Решение определяется как предел бесконечной итерационной последовательности; Определены правила получения итерационной последовательности (очередной итерации метода) при заданной предыдущей итерации (или нескольких предыдущих итераций); Количество шагов, необходимых для вычисления решения с заданной точностью заранее не определено.

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов Преимущество: В отсутствие вычислительной погрешности дают точный результат. Недостатки: При большом количестве шагов вычислительная погрешность может накапливаться. Может потребоваться сохранять большие объемы информации на каждом шаге для хранения промежуточных результатов (ограничение на ресурсы памяти).

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для прямых методов Особенности реализации: Требуют исследования влияния ошибок округления и, возможно, преобразования формул вычисления. Не используются при большой размерности задачи.

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для итерационных методов Преимущество: Вычислительная погрешность не накапливается и даже может быть исправлена при очередной итерации. Недостаток: Если итерационная последовательность сходится медленно, то для достижения требуемой точности решения может потребоваться слишком большое число шагов (ограничение на ресурсы времени)

Преимущества, недостатки и особенности реализации алгоритмов для итерационных методов Особенности реализации: Выбор начального приближения; Выяснение условий сходимости итерационной последовательности; Определение условий прекращения итераций (способов оценки погрешности решения на каждой итерации).