🗊Презентация Основы нечеткой логики

Основы нечеткой логики Раздел 3

Понятие принадлежности

Пример

Понятие нечеткого подмножества

Определение нечеткого множества

Определение нечеткого множества

Определение нечеткого числа

Определения

Определения, пример

Пример

Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами

Определение

Свойства операций над нечеткими множествами

Операции с нечеткими числами

Метод центра тяжести

Метод медиан

Метод центра максимумов

Методы наибольшего и наименьшего максимума В дискретном случае дефаззификация по методам наибольшего из максимумов и наименьшего из максимумов осуществляется по формулам a=max(G) и a=min(G), соответственно. Из последних трех формул видно, что если функция принадлежности имеет только один максимум, то его координата и является четким аналогом нечеткого множества.

Подмножества α - уровня. Декомпозиция нечет­ких множеств. Пусть α число из диапозона [0,1]. Подмножеством α-уровня нечеткого множества А называется обычное (четкое) множество: Аα = {и U : µA(u) > a}.

Декомпозиция нечеткого множества

Синтез нечеткого подмножества

Лингвистическая переменная

Понятие лингвистической переменной Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке.

Понятие лингвистической переменной Лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет"; "гармоничный вкус" и т.п.

Понятие лингвистической переменной Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила: Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной; Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.

Определение ЛП Формально, лингвистическая переменная задается пятеркой <X, T(X), U, M, G >, где X – имя переменной; T(X) – обозначает терм-множество переменной X, т.е. множество названий лингвистических значений переменной X, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной x со значениями из универсального множества U с базовой переменной u; U – универсальное множество; M – семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной x ее смысл M(x), т.е. нечеткое подмножество M(x) универсального множества U; G – синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающее названия значений переменной X (из терм множества).

Понятие терма Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Совокупность значений лингвистической переменной составляет терм - множество этой переменной. Это множество может иметь, вообще говоря, бесконечное число элементов, но на практике, естественно, оно конечно. Например, терм - множество лингвистической переменной «температура» можно записать так: (температура)={очень низкая \/ почти низкая \/ низкая \/ почти средняя \/ средняя \/ ...\/ высокая \/ очень высокая}. Термом называется любой элемент терм-множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Пример Рассмотрим лингвистическую переменную с именем X="ТЕМПЕРАТУРА В КОМНАТЕ". Тогда оставшуюся четверку <T, U, M, G>, можно определить так: универсальное множество U=[5,35]; терм-множество T={"ХОЛОДНО", "КОМФОРТНО", "ЖАРКО"} M будет являться процедурой, ставящей каждому терму в соответствие нечеткое множество из U по правилам (функциям принадлежности):

Пример Синтаксическое правило G (грамматика), присваивающее значение лингвистической переменной (выбор терма из терм множества).

Пример В рассмотренном примере терм-множество состояло лишь из небольшого числа термов, так что целесообразно было просто перечислить элементы терм-множества T(X) и установить прямое соответствие между каждым элементом и его смыслом. В более общем случае, число элементов T(X) в может быть бесконечным, и тогда как для порождения элементов множества T(X), так и для вычисления их смысла необходимо применять алгоритм, а не просто процедуру перечисления.

Определение Будем говорить, что лингвистическая переменная X структурирована, если ее терм-множество T(X) и функцию M, которая ставит в соответствие каждому элементу терм-множества его смысл, можно задать алгоритмически.

Пример В качестве очень простой иллюстрации той роли, которую играют синтаксическое и семантическое правила в случае структурированной лингвистической переменной, рассмотрим переменную РОСТ, терм-множество которой можно записать в виде: T(РОСТ)={ВЫСОКИЙ,ОЧЕНЬ ВЫСОКИЙ,ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ ВЫСОКИЙ,...}.

Методы построения функций принадлежности

Требования к функциям принадлежности

Методы построения ФП

Прямые методы для одного эксперта Прямые методы для одного (уникального) эксперта состоят в непосредственном назначении степени принадлежности для исследуемых объектов или непосредственном назначении функции (правила), позволяющей вычислять значения.

Прямые методы для одного эксперта

Пример

Примеры различных способов построения функций принадлежности

Примеры различных способов построения функций принадлежности

Примеры различных способов построения функций принадлежности

Примеры различных способов построения функций принадлежности

Понятие нечетких отношений

Понятие нечетких отношений Нечеткое отношение представляет собой важное математическое понятие, позволяющее формулировать и анализировать математические модели реальных задач принятия решений. Отношение на множестве альтернатив, объектов и т. п. в таких задачах выявляется обычно путем консультаций с лицом, принимающим решения (л. п. р.), или с экспертами, которые зачастую не имеют вполне четкого суждения об этом отношении. В подобных случаях нечеткое отношение может служить удобной и более адекватной реальности формой представления исходной информации, чем обычное отношение.

Определение

Способы задания НО

Способы задания НО

Определения

Пример

Операции над нечеткими отношениями

Операции над нечеткими отношениями

Операции над нечеткими отношениями

Композиция нечетких отношений Операция композиции нечетких отношений R1 в X×Y иR2 в Y×Z позволяет определить нечеткое отношение в X×Z. (Max-min) - композиция и ее свойства

Вычисление композиций НО Вычисление композиции нечетких отношений аналогично вычислению произведения матриц, ("столбец на строку"), только вместо произведения и суммы выполняются операции взятия минимума и максимума соответственно.

Пример

Свойства (max-min) - композиции

Свойства нечетких отношений

Транзитивное замыкание НО

Классификация НО

Приложения теории нечетких отношений к анализу систем В кластерном анализе (автоматической классификации) предложена процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов. Эксперты в некоторой шкале сравнений указывали силу сходства между портретами людей, принадлежащих к нескольким семьям, и на основе попарного сравнения всех портретов строилась матрица сходства. Транзитивное замыкание этой матрицы давало НО эквивалентности. Далее выбирался порог (уровень) α таким образом, чтобы число классов разбиения, получаемое на α-уровнях, равнялось числу семей. Процедура классификации относила портреты, попавшие в один класс разбиения, к одной семье. В проведенных экспериментах результаты классификации дали хорошее согласование с истинным разбиением портретов по семьям.

Элементы теории приближенных рассуждений

Приближенные рассуждения Под приближенными рассуждениями понимается процесс, при котором из нечетких посылок получаются некоторые следствия, возможно, тоже нечеткие. Способность человека рассуждать в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины. Приближенные рассуждения находят применение в системах основанных на принципах нечеткого логического вывода. В основе нечетких систем лежат логические правила вида "Если ..., то ...", в которых посылки и выводы являются нечеткими понятиями.

Четкие рассуждения Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы можем судить об истинности высказывания В по истинности высказывания A и импликации АВ. Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так если мы знаем, что А истинно и что А*В, где А* есть в некотором смысле, приближение В. Тогда из А*В мы можем сделать вывод о том, что В приближенно истинно.

Обобщение четеких рассуждений Рассмотрим способ формализации приближенных рассуждений, основанный на понятиях, введенных ранее. В отличие от традиционной логики нашим главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, весьма частным случаем, которого является правило modus ponens.

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода

Пример

Композиционное правило вывода. Определение.

Пример

Основная идея метода

Приближенные рассуждения на основе modus ponens

Обобщение материальной импликации

Определение

Определение

Применение правила

Формализация нечеткой импликации

Приближенные рассуждения на основе modus tollens

Обобщение правила

Применение правила

Формализация логических связок (Нечеткая логика) Ранее мы говорили о том, что операции пересечения, объединения и дополнения в множестве P(U) всех нечетких множеств, заданных на одном универсальном множестве U могут быть определены различными способами. Эти способы являются различными обобщениями соответствующих операций для обычных множеств и берут свое начало в работах по многозначным логикам, где возникают аналогичные проблемы. При использовании различных операций, мы получаем также различные интерпретации логических связок "И", "ИЛИ", "НЕ", соответствующих операциям пересечения, объединения и дополнения.

Расширение логических операций Утверждение: Логические операции «НЕ», «И» и «ИЛИ» образуют полную систему, т.е. с их помощью можно задать любую другую логическую операцию, или сочетание логический операций. Расширением логических операций при переходе от четкой логики к нечеткой производится путем введения функций, носящих название треугольных норм: норм (t - норм) и конорм (s - норма, t - конорм) для логических операций «И» и «ИЛИ» соответственно.

Треугольные нормы

Треугольные нормы

Треугольные нормы

Треугольные нормы

Отрицание

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы Человек, проектирующий данную систему, создает из правил в словесном представлении типа (1) конкретные функции принадлежности типа (2), (3). Обычно он следует следующему методу: определяет значения методом вопросов и ответов или становится учеником эксперта; поручает эксперту выполнение операции и воссоздает ситуацию из хронометрированных данных; корректирует значения функции, получая наилучшие результаты из экспериментов, имитирующих данную ситуацию.

Нечеткие выводы Если получить функции принадлежности, следуя указанному выше методу, то можно запомнить их в ЭВМ как базу знаний (например, формулы (2) и (3) можно запомнить как информацию в одномерном массиве, индексы в котором соответствуют элементам полного пространства). Без ограничения общности будем считать, что нечеткие продукционные правила типа (1) накапливаются в базе знаний. Пусть также при наблюдении текущего уровня воды обнаружено, что Уровень воды довольно высокий. (4)

Нечеткие выводы Если наблюдения уровня воды возможны с большей точностью, то можно получить точную информацию, например: «уровень воды 1,7 м». Однако на практике нередки случаи, когда из-за особенностей промышленной системы информацию с достаточно хорошей точностью получить не удается (при этом учитывается погрешность измерения, которая меняет в ту или иную сторону значение 1,7 м), либо нет возможности установить устройство измерения уровня воды и, например, этот уровень вынуждены оценивать, постукивая по емкости и реагируя на звук. В подобных случаях удобно принимать за информацию наблюдение (4), представленное с помощью нечеткого множества следующим образом: Довольно ВЫСОКИЙ - 0,5/1,6 м + 1,0/1,7 м + 0,8/1,8 м + 0,2/1,9 м. (5)

Нечеткие выводы Какую же операцию нужно проделать в такой ситуации? Другими словами, поставим задачу: определить нечто, отмеченное знаком «?» в формуле (6): Если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ Довольно ВЫСОКИЙ ----------------------------------------- ? Разумеется, предпосылка ВЫСОКИЙ и наблюдение «довольно ВЫСОКИЙ» образуются путем сопоставления. В четкой логике сопоставление не имеет смысла, поэтому никакого логического вывода сделать нельзя. Однако мы говорим о человеке, а он, получив путем приближенного сопоставления вывод (7): если ВЫСОКИЙ, то ОТКРЫТЬ довольно ВЫСОКИЙ ----------------------------------------- Слегка ОТКРЫТЬ  должен слегка приоткрыть клапан. По сути он выполнил нечеткий вывод (точнее, провел приближенные рассуждения).

Нечеткие выводы Если говорить о мышлении человека на лингвистическом уровне, то формула (7) представляет классический пример нечеткого вывода, но какие же вычисления нужно проделать в программе или внутри специальной микросхемы нечеткого вывода, где встроены функции принадлежности? Существует более ста методов преобразования нечетких выводов на лингвистическом уровне в вычислениях, но если ограничиться только методом, наиболее часто используемым на практике, то все объяснения можно привести с помощью рис.

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы

Нечеткие выводы Как операцию композиции, так и операцию импликации в алгебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа: Нечеткость (введение нечеткости, фаззификация, fuzzification). Логический вывод. Агрегация Активация Композиция. В заключение – приведение к четкости (дефаззификация, defuzzification).

Нечеткие выводы Нечеткость (введение нечеткости, фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности, определенные на входных переменных применяются к фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

Нечеткие выводы Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно используются только операции min (МИНИМУМ) или prod (УМНОЖЕНИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

Нечеткие выводы Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (МАКСИМУМ) или sum (СУММА). При композиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечный максимум по всем нечетким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечетким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

Нечеткие выводы В заключение – приведение к четкости (дефаззификация, defuzzification), которое используется, когда полезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число.

Общая схема НЛВ

Пример Пусть некоторая система описывается следующими нечеткими правилами: П1: если х есть А, тогда w есть D, П2: если у есть В, тогда w есть Е, П3: если z есть С, тогда w есть F, где х, у и z – имена входных переменных, w – имя переменной вывода, а А, В, С, D, E, F – заданные функции принадлежности (треугольной формы). Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. Предполагается, что исходные переменные приняли некоторые конкретные (четкие) значения – x0 , y0 и z0.

Пример

Алгоритмы нечеткого вывода

Алгоритмы НЛВ

1. Алгоритм Mamdani

2. Алгоритм Larsen

3. Алгоритм Tsukamoto

4. Алгоритм Sugeno

5. Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

6. Нисходящие нечеткие выводы Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере. Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности автомобиля с именами переменных: x1 – неисправность аккумулятора; x2 – отработка машинного масла; y1 – затруднения при запуске; y2 – ухудшение цвета выхлопных газов; y3 – недостаток мощности.

Обратные выводы Между хi и yj существуют нечеткие причинные отношения ri,j = xiyj, которые можно представить в виде некоторой матрицы R с элементами ri,j из отрехка [0, 1]. Конкретные входы (предпосылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечеткие множества А и В на пространствах X и Y. Отношения этих множеств можно обозначить как В = А R, где, как и раньше, знак «» обозначает правило композиции нечетких выводов. В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики имеется (задана) матрица R (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Обратные выводы, поиск решения

Обратные выводы, поиск решения

Практическое применение На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно использоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения подобных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.

Эффективность систем принятия решений, использующих методы нечеткой логики

Использование аппарата НЛ

Использование аппарата НЛ

Использование аппарата НЛ

Условия применения Вообще говоря, системы с нечеткой логикой целесообразно применить для сложных процессов, когда нет простой математической модели; если экспертные знания об объекте или о процессе можно сформулировать только в лингвистической форме. Данные системы применять нецелесообразно, когда требуемый результат может быть получен каким-либо другим (стандартным) путем, или когда для объекта или процесса уже найдена адекватная и легко исследуемая математическая модель. Отметим, что основные недостатки систем с нечеткой логикой связаны с тем, что: исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым; вид и параметры функций принадлежности, описывают их входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут оказаться не вполне отражающими реальную действительность.

Приближенные рассуждения в прикладных задачах Проиллюстрируем применение аппарата приближенных рассуждений на примере нечетких контроллеров. Под нечеткими контроллерами понимается программно-аппаратные системы, управляющие некоторыми процессами (от английского слова control - управление). Такого рода системы имеют огромное число приложений - от бытовой техники до управления сложными технологическими процессами. Рынок нечетких контроллеров оценивается в миллиарды долларов. Для описания нечетких управляющих систем сформулируем основные понятия теории управляющих систем в классическом понимании.

Основные понятия теории управления Система управления на основе наблюдений среды и объекта управления и соответствия этих наблюдений цели формирует решение по выбору управляющего воздействия на объект (в частном случае это может быть "пустое" решение). Если при сложившейся ситуации в среде и на объекте управления цель достигнута - продолжается наблюдение за средой и объектом. Если цель не достигается - необходимо некоторое воздействие на объект. Это воздействие выбирается блоком принятия решений на основе модели среды и модели объекта управления и выполняется блоком реализации решений.

Основные идеи нечеткого управления Как видно из приведенного краткого обзора основных понятий теории управления, применение классических методов возможно при наличии модели среды и модели объекта управления. Что делать, если таких моделей нет? Или модели есть, но для их "обсчета" требуются значительные ресурсы? Для "модельных" задач последнее может быть не существенным, однако для практических задач большие ресурсы могут быть критичными (например, для систем управления в реальном времени управляющее воздействие должно вырабатываться не более, чем за некоторое время Δt, иначе решение, пусть самое лучшее, уже никому не нужно; для бортовых систем управления критичным могут быть габариты и вес компьютера: если для работы с моделью требуется супер-ЭВМ, то ее не возьмешь в самолет или автомобиль).

Основные идеи нечеткого управления

Основные идеи нечеткого управления. Пример реализации.

Принцип действия регулятора Таким образом, моделью объекта управления и среды является их лингвистическое описание; блок принятия решений работает как последовательность "Если ..., то ..." правил. Возникает ситуация, когда элементы одной схемы описываются на разных "языках": в среде значения признаков – некоторые числа, отражающие значения физических измеряемых величин, а в модели управления значения признаков - качественные понятия. Система управления должна взять с объекта управления некоторые числа и выдать на объект опять же некоторые конкретные числа. Для этого система управления имеет два интерфейса: представления физического значения признака в лингвистическом виде ("фазификатор") и представления получившегося в результате нечетких рассуждений лингвистического значения управляемого параметра в количественном виде ("дефазификатор").

Структурная схема нечеткого лингвистического регулятора

Пример: нечеткий регулятор Приведем еще один пример использования аппарата нечеткой логики, на этот раз – в задаче управления. Рассмотрим замкнутую систему регулирования, представленную на рис. где через О обозначен объект управления, через P – регулятор, а через u, y, e, x – соответственно входной сигнал системы, ее выходной сигнал, сигнал ошибки (рассогласования), поступающий на вход регулятора, и выходной сигнал регулятора.

Описание системы В рассматриваемой системе регулятор вырабатывает управляющий сигнал x в соответствии с выбранным алгоритмом регулирования. Покажем, что в данном случае для выработки такого сигнала применимы рассмотренные выше методы аппарата нечеткой логики. Предположим, что функции регулятора выполняет микроконтроллер, при этом аналоговый сигнал е ограничен диапазоном [-1, 1] и преобразуется в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП) с дискретностью 0,25, а выходной сигнал регулятора х формируется с помощью цифроаналогового преобразователя (ЦАП) и имеет всего 5 уровней: -1, -0,5, 0, 0,5, 1.

Лингвистическое описание

База знаний

Логический вывод

Ограничения на применение нечеткой логики Применение традиционной нечеткой логики в современных системах крайне ограниченно следующими факторами: как правило, сложная система управления имеет большее количество входов, чем самое заурядное нечеткое приложение; добавление входных переменных увеличивает сложность вычислений экспоненциально; как следствие предыдущего пункта, увеличивается база правил, что приводит к трудному ее восприятию; операции в реальном масштабе требуют специального «железа».