🗊Презентация Открытый банк заданий ОГЭ на подобие треугольников

Открытый банк заданий ОГЭ на подобие треугольников Методическое пособие

Оглавление Теоритический справочник Типы и решение задач 1 Части ОГЭ Задачи про проектор. Задачи про столб, фонарь, тень человека Задачи про колодец с «журавлем» и на шлагбаум 3.Типы и решение задач 2 Части ОГЭ. Задачи на вычисление Задачи на доказательство

Раздел 1

Пропорциональные отрезки Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если

Теоритический справочник Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия

Теоритический справочник Отношением площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Признаки подобия треугольников I признак подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия треугольников II признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны ABC, A1B1C1, Если A = A1 и то ABC A1B1C1

Признаки подобия треугольников III признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны Дано: ABC, A1B1C1, Если То ABC A1B1C1

Свойства подобных треугольников. Если треугольники подобны, то сходственные стороны пропорциональны. Если треугольники подобны, то соответственные углы(лежащие против сходственных сторон) равны.

Типы и решение задач 1 Части ОГЭ

Алгоритм решения задач на подобие треугольников Находим пару предполагаемо подобных треугольников. Доказываем, что эти треугольники подобны, используя признаки подобия треугольников. Определяем сходственные стороны треугольников и составляем соответствующую пропорцию. Находим неизвестные члены этой пропорции.

Задачи про проектор. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 250 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 160 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми?

1.Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 120 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 330 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми? 2. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 160 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 300 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 80 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми? 3. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 50 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 110 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 360 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми?

Задачи про столб, расстояние, тень человека. 1)Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 5 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека (в метрах).

Решение: По сути, в задаче нужно найти величину из двух подобных прямоугольных треугольников (по двум углам). Так как треугольники подобны, то можно записать соотношение для их сторон: откуда 3.6х=1.6(5+х) 3.6х=1.6х+8 3.6х-1.6х=8 2х=8/2 х=4 Ответ:4 метра.

2) На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 4 м, высота фонаря 3,6 м?

Решение: Обозначим человека как AB (от головы до земли) , фонарь как CD (от лампочки до земли) , конец тени человека обозначим точкой O. Тогда будем иметь два подобных прямоугольных треугольника: OBA и ODC ( подобие по двум углам) Так как треугольники подобны, то можно записать соотношение их сторон:= Откуда: х= х= х=1.8х+2 0.8х=2/0.8 х=2.5 Ответ:2.5 метра.

Задачи про столб, расстояние, тень человека. 3) Человек, рост которого равен 1.2 м, стоит на расстоянии 14 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 7 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Решение: Обозначим человека как AB (от головы до земли) , фонарь как CD (от лампочки до земли) , конец тени человека обозначим точкой O. Тогда будем иметь два подобных прямоугольных треугольника: OBA и ODC ( подобие по двум углам). Так как треугольники подобны, то можно записать соотношение их сторон:= откуда х===3.6 Ответ:3.6 метра.

Задачи для самостоятельного решения 1. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,2 м. Найдите длину тени человека в метрах. 2. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,5 м. Найдите длину тени человека в метрах. 3. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 13 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах. 4. Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 6 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 7,6 м. Найдите длину тени человека в метрах. 5 Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 9 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 6,8 м. Найдите длину тени человека в метрах.

6.На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м? 7.На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м?

7.На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м? 8. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Типы и решение задач 2 Части ОГЭ.

Задачи на вычисление Задача1От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .

Задачи на вычисление Задача 2 Пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.  

Задачи на вычисление

Задачи на вычисление Задача 3 Вы­со­та тре­уголь­ни­ка раз­би­ва­ет его ос­но­ва­ние на два от­рез­ка с дли­на­ми 8 и 9. Най­ди­те длину этой вы­со­ты, если из­вест­но, что дру­гая вы­со­та тре­уголь­ни­ка делит ее по­по­лам.

Задачи на вычисление

Задачи на вычисление Задача 4 Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 18, а сто­ро­на BC в 1,2 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Задачи на вычисление

Задачи на вычисление Задача5 На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 1 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Задачи на вычисление

Задачи на вычисление Задачи для самостоятельного решения 1)От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 18, DC = 54, AC = 48 2)От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и  BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 12, DC = 48, AC = 35. 3)От­рез­ки AB и DC лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, а от­рез­ки AC и  BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те MC, если AB = 15, DC = 30, AC = 39.

Задачи на вычисление Задачи для самостоятельного решения 4)Пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 25. 5)Пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те BN, если MN = 17, AC = 51, NC = 32. 6)Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP = 16, а сто­ро­на BC в 1,6 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Задачи на доказательство Задача 1Вы­со­ты AA1 и BB1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Задачи на доказательство

Задачи на доказательство

Задачи на доказательство Задача 3 Из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхуголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD по­доб­ны

Задачи на доказательство

Задачи на доказательство Задачи для самостоятельного решения 1)Из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхуголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD по­доб­ны. 2)В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB по­доб­ны. 3)Ос­но­ва­ния BC и AD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 4 и 64, BD =16 . До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и BDA по­доб­ны.