🗊Презентация Отображения (функции) как отношения

Отображения (функции) как отношения Преподаватель: Митянина А.В. ИИТ, ЧелГУ

Вспомним про отношения… Отношение R из множества A в множество B – это подмножество прямого произведения множества A на множество B: R  A  B, R : A  B Обозн. (a, b)  R обычно записывают как aRb. Если A = B, то говорят, что R  A  A - отношение на A. Если отношение установлено между двумя множествами, то его называют бинарным.

Отображение Отображение (функция) из множества А в множество В представляет собой специальное отношение А  В, обладающее следующими свойствами: 1. Для каждого элемента а из А существует элемент b из В такой, что а и b связаны данным отношением. 2. Если а относится к b и а относится к b`, то b = b` . В терминах упорядоченных пар это утверждение означает, что если (a, b) и (a, b`) принадлежат отношению, то b = b`. Кратко: для каждого а из А существует ровно 1 элемент b из В такой, что а и b связаны данным отношением.

Отображение Отношение Отношение Не отображение Отображение

Отображение. Обозначения и терминология Функция из A в B обозначается f : A  B. Если f : A  B - функция, и (a, b)  f, то b= f(a). Функция f : A  B называется отображением, при этом f отображает А в В. Если f : A  B , так что b = f (a), то элемент а отображается в элемент b.

Отображение. Терминология Множество А называется областью определения функции f, а множество В называется областью потенциальных значений. Если E  A, то множество f(E) = {b: f(a) = b для некоторого а из E} называется образом множества Е. Образ всего множества А называется областью значений функции f. Если F  B, то множество f -1 (F) = {a: f(a)  F} называется прообразом множества F. Прим. Прообраз может быть пустым.

Функция. Пример. Пусть А = {-2, -1, 0, 1, 2}, a B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Отношение f  A  B определяется как f = {(-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5)}. Отношение f – функция А из В, так как f  A  B и каждый из элементов А присутствует в качестве первой компоненты упорядоченный пары из f ровно один раз. Область определения? Область потенциальных значений? Область значений? Образ множества {1,2}? Прообраз множества {5}, {0, 2, 3, 4, 5}?

Функция. Пример. Пусть А = {-2, -1, 0, 1, 2} и В = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Функция f : A  B определена соотношением f (x) = x2 + 1. Если Е = {1, 2}, то f(E) = {b : (a, b)  f для некоторого а из Е } = = {b : b = f(a) для некоторого а из Е } = {2, 5} является образом Е при отображении f. Если F = {0, 2, 3, 4, 5}, то f -1(F) = {b : существует а  А такое, что f(a) = b} = {-1, 1, -2, 2} - является прообразом F, где -1  f -1 (F), так как f(-1) = 2, 1  f -1 (F), так как f(1) = 2, -2  f -1 (F), так как f(-2) = 5 и 2  f -1 (F), так как f(2) = 5. Элементы 0, 3 и 4 не вносят никаких элементов в f -1 (F), поскольку они не принадлежат области значений функции f.

Свойства функций. Функция f : A  B называется инъективной, или инъекцией, если из f(a) = f(a' ) следует а=а'. Иначе: для любого элемента из области значений существует только 1 прообраз. Пример. Не инъективна Инъективная

Свойства функций. Функция f называется отображением “на” или сюръективной функцией, или сюръекцией, если для каждого b  B существует некоторое а  А такое, что f(a) = b. Иначе: всё множество B является областью значений. Пример. Не сюръективна Сюръективная

Свойства функций. Функция, которая является одновременно и инъективной, и сюръективной, называется взаимно однозначным соответствием, или биекцией. Если A = B и f : A  B является взаимно однозначным соответствием, то f называется перестановкой множества А.

Свойства функций. Пример. Пусть А и В - множества действительных чисел и f : A  B определена таким образом: f(х) = 3x + 5. Функция f инъективна, так как если f(a) = f(a' ), тогда 3а + 5 = 3а' + 5  а = а' . Функция f является также сюръективной: Для любого действительного числа b требуется найти такое а, что f(a) = b = 3a + 5.  а = (1/3)(b – 5), тогда f(a) = b. Поэтому f представляет собой взаимно однозначное соответствие, а в силу А = В, f является также перестановкой.

Свойства функций. Пример. Пусть А и В – множество действительных чисел, и функция f : A  B определена как f(x) = x2. Функция f не является инъективной, так как f(2) = f(-2), но 2  -2. Функция f не является также и сюръективной, так как не существует такого действительного числа а, для которого f(a) = -1. Если А и В - множество неотрицательных действительных чисел, тогда f является как инъективной, так и сюрьективной.

Обратная функция. Пусть f – функция из множества А во множество В, то есть f : A  B . f  A  B, так как f является отношением на A  B. Обратное отношение f -1 B  A определяется как f -1= {(b, a): (a, b) f }. При этом отношение f -1 может не быть функцией из В в А, даже если f является функцией из А в В. Если f -1 действительно является функцией, то ее называют обращением функции f, или ее обратной функцией. Пример. Функции f(х) = 3x + 6 и f(x) = x2 имеют обратные функции?

Обратная функция. Пример. Требуется найти обратную функцию для y = 3x + 6. Обращая функцию, получается {(y, x): y = 3x + 6}. Это тоже самое, что {(x, y): х = 3у + 6}. Решение этого уравнения относительно у: {(x, y): у = (х - 6) / 3}.

Обратная функция. Теорема 1. 1) Если f : A  B является биекцией. То обратное отношение f -1 является функцией из В в А, причем биекцией. 2) Обратно, для f : A  B, если f -1 – функция из В в А, то f является биекцией.

Обратная функция. Теорема 2. Если f : A  B является биекцией, то a) f (f -1(b)) = b для любого b из B; б) f -1 (f (a)) = a для любого a из A. Доказательство: Пусть b  B и а = f -1(b). Тогда f(a) = b. Поскольку a = f -1(b)), то f (f -1(b)) = f(a) = b. Аналогично доказывается f -1 (f (a)) = a для любого a из A.

Обратная функция. Теорема 3. Если f : A  A и I - тождественная функция на А, то I  f = f  I = f . Если для f существует обратная функция, то f  f -1 = f -1  f = I. Прим. Тождественная функция – это функция, переводящая жлемент сам в себя. Например, f(x) = x.

Композиция функций. Если R – отношение на A  B, а S - отношение на B  C, то можно определить отношение S  R на А  С, называемое композицией S и R. Если R и S – функции, то S  R - тоже функция, называемая композицией S и R. Теорема: Пусть g : A  B и f: B  C. Тогда а) композиция f g есть отображение из А в С. Обозначение f  g : A  C; б) если а  А, то (f g)(a) = f (g(a)).

Композиция функций. Примеры. Пусть f : A  B , g : B  C и h : C  D. Тогда h  (g  f) = (h  g)  f, то есть композиция двух функций ассоциативна. Пример. Пусть и g(x) = x + 3 - функции, заданные на множестве действительных чисел. Функция Функция

Композиция функций. Теорема. Пусть g : A  B f : B  C . Тогда а) если g и f - сюръекции А на В и В на С соответственно, то f g есть сюръекция А на С. Иначе: композиция двух сюръекций – сюръекция. б) если g и f - инъекции, то f g - также инъекция. Иначе: Композиция двух инъекций – инъекция. в) если g и f - биекции, то f g - также биекция. Иначе: Композиция двух биекций – биекция. г) (f  g) -1 = g -1  f -1.

Специальные функции. Если f – перестановка на множестве {1, 2, 3, …, n }. Может быть представлена в виде Тождественная специальная функция – тождественная функция I, определенная соотношением I(a) = a для всех а  А.

Специальные функции. Пример. Если А = {1, 2, 3} и функция f : A  B определена соотношениями f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 Тогда f может быть представлена в виде

Композиция перестановок. Если g : A  A определена соотношением g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 1 Тогда g можно представить в виде Композиции этих функций: f  g = g  f =

Обратная перестановка. Чтобы построить обратную перестановку, необходимо найти число, стоящее над 1 и поместить его под 1. Затем найти число, стоящее над 2 и поместить его под 2. Затем найти число, стоящее над 3 и поместить его под 3. И т.д. Какая перестановка будет обратно к ?

Специальные функции. Функция f : A  B, где А – множество действительных чисел, В – множество целы чисел, называется нижним округлением и обозначается если каждому числу а  А ставит в соответствие наибольшее целое число, меньшее или равное а. Функция f : A  B называется верхним округлением и обозначается если каждому числу а  А ставит в соответствие наименьшее целое число, большее или равное а. Пример.

Специальные функции. 1. Бинарной операцией на множестве А называется функция b: A  A  A. Образ пары (r, s) при отображении b записывается b((r, s)) или rbs. 2. Последовательность является частным видом функции. Последовательностью называют функцию из {1, 2, 3, 4, …} в некоторое множество S. Пример. Пусть А(n) = n 2 – 3.