🗊Презентация Перестановки чисел. Примеры решения задач

Перестановкой из n элементов называется любой способ нумерации этих предметов Перестановкой из n элементов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд)

Запомните Граф можно не строить, если не требуется выписывать все возможные варианты, а нужно указать их число. В этом случае рассуждать нужно так: - на первый стул можно усадить одного из трех человек, на второй одного из двух оставшихся на третий – одного оставшегося: Получаем 3 * 2 *1 = 6 вариантов (по правилу произведения)

Задача №2 В гостинице семь одноместных номеров. Семь гостей желают в них разместиться. Причем трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите число способов расселения семи гостей по семи номерам.

Так как три номера у нас были зарезервированы (то есть заняты), Так как три номера у нас были зарезервированы (то есть заняты), то мы их не рассматриваем Пусть 1-ый гость – , 2-ой гость – , 3-ий гость – , 4-ый гость – . За начало берем произвольную точку. В первый номер можно расселить любого из гостей гостиницы. Вы можете видеть это на графе. А) Гость займет 1-ый номер, гость - 2-ой, гость - 3-ий, гость - 4-ый номер. Б) Если в первый номер заселить гостя то во второй можно заселить либо гостя , либо - , либо - . Далее продолжаем по аналогии. Рассмотрим граф:

Факториал Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n! n!= 1*2*3*…*(n-1)*n

Так как три номера уже занято, Так как три номера уже занято, значит (7-3)=4 номера свободно. Поскольку мы меняем местами четырех человек по свободным номерам, значит это будет перестановка из 4-х элементов. P(7-3)= (7-3)! =4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 - варианта перестановок

Перестановка

Задача №3 Сколькими способами можно рассадить 4 человек за круглым столом. (перестановка по кругу)

Решение к задаче №3 Пользуясь формулой перестановок по кругу «Pn=(n-1)!» n-1 по тому что при перестановках элементов 1 элементов остается статичным и не переставляется. Получаем P4=(4-1)!=3!=6

Перестановки по кругу

Задача №4 Найдите число различных перестановок букв a,a,a,b,b,c,c (см. перестановка с повторением)

Решение к задаче №4 Эта задача решается с помощью формулы перестановок с повторением то есть получаем.

Перестановки с повторением Кроме рассмотренных нами комбинаций в комбинаторике есть еще многие другие. Одна из наиболее важных типов перестановки с повторением.

Задача №1 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: , синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение задачи №1 Так как у флага три полосы и их нужно расположить всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 3 элементов: P3 =3!=3*2*1=6

Задача №2 Подсчитаем, сколько существует различных способов каждому из пяти человек присвоить номер от одного до пяти?

Решение задачи №2 Так как есть пять человек и нужно присвоить им пять номеров всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 5 элементов: P5=5!=5*4*3*2*1=120(способов)

Задача №3 В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Решение задачи №3 Так как есть три машины, и нужно расставить их в очередь на ремонт всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 3 элементов: P3=3!=3*2*1=6

Задача №4 Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «автор»?

Решение задачи №4 Так как в слове «автор» 5 букв, где все буквы разные и нужно расставить их всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 5 элементов: P5=5!=5*4*3*2*1=120(способов)

Задача №5 В гостинице семь одноместных номеров. Семь гостей желают в них разместиться. Причем двое заранее зарезервировали конкретные номера. Сколько существует способов расселения семи гостей по семи номерам?

Решение задачи №5 Так как двое гостей уже зарезервировали номера, то остаётся пять посетителей и они могут расселиться по комнатам следующим способом: P5=5!=5*4*3*2*1=120

Задача №6 Сколькими способами можно составить расписание на понедельник чтобы русский и литература стояли рядом.(Русский язык, Геометрия, Литература, Алгебра, Физкультура, История).

Решение задачи №6 Так как русский язык и литература должны стоять рядом, то мы сгруппируем его в один элемент. Поэтому расписание можно составить следующим образом: P5=5!=5*4*3*2*1=120

Решение к задаче №7 Перестановка из 7 элементов но при перестановке букв «а», получается одно слово, поэтому =2520

Задача №8 Сколько можно составить слов из букв в слове математика?

Решение к задаче №8 Перестановка из 10 элементов, но при перестановке букв «а», «м», «т» между собой, получается одно и то же слово, значит =151200

Задача №9 Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,0,4,6?

Решение к задаче №9 Р5 – количество перестановок где «0» на первом месте поэтому получается Р4 Р5- Р4=5!-4!=4!(5-1)=4!*4=96

Задача №6. У Спящей Красавицы 7 платьев. Сколькими способами она может их надевать, меняя каждый день, в течение недели? Задача №6. У Спящей Красавицы 7 платьев. Сколькими способами она может их надевать, меняя каждый день, в течение недели? Задача №7.Старушка Бэйбэрикээн заказала у кузнеца 5 колокольчиков для своих пяти коров. Сколькими способами она может надеть колокольчики на своих коровах? Задача №8. Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 при условии, что ни одно из них не повторяется? Задача №9. Всего 6 различных красок. Сколькими способами можно раскрасить слово «Эврика», если все буквы должны быть раскрашены разными цветами?

Ответы к задачам 6-9: Задача №6: 7!=5040 Задача №7: 5!=120 Задача №8: 8!=30200 Задача №9: 6!=720

Задача №15. Слово - любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов а) ``ВЕКТОР''; б) ``ЛИНИЯ''; в) ``ПАРАБОЛА''; г) ``БИССЕКТРИСА''; д) ``МАТЕМАТИКА''; Задача 16. Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую? Задача 17. Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10-ю креслами так, чтобы они чередовались?

Ответы к задачам 15-17: Задача №15: а)6!=720 б)5!-2!=120-2=118 в)8!-3!=30200-6=30194 г)11!-3!-2!=39916800-6-2=39916792 д)9!-2!-2!-3!=362880-2-2-6=362870 Задача №16: 28! Задача №17: (5-1)!*2!=4!*2!=48