🗊Презентация Периодическая функция. 10 класс

Периодическая функция Подготовила ученица 10 «А» класса МАОУ «Лицея №3 им. А.С.Пушкина» Козлова Анастасия

Определение Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Признак Функция с областью определения называется периодической, если существует хотя бы одно число , такое, при котором выполняются следующие два условия: 1) точки , принадлежат области определения для любого ; 2) для каждого x из D имеет место соотношение

Экстремумы функции Экстре́мум (лат.extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f(х0)≥f(x). Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin. Под окрестностью точки х0 понимают интервал Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f(х0)≥f(x). Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin. Под окрестностью точки х0 понимают интервал (x0 – e; x0 + e), где e – достаточно малое положительное число.

Функция y=sinx – периодическая с периодом

Заметим, что если число T является периодом функции f(x) , то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T , и 4T и т.д., т.е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что если число T является периодом функции f(x) , то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T , и 4T и т.д., т.е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа.

Функция y=sin2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x)=sin x

Задача Пусть φ и ψ - непрерывные периодические функции, определенные при x ϵ R и . Доказать, что φ(x) ≡ ψ(x), x ϵ R.

Решение Пусть T1 - период функции φ, а T2 - период функции ψ. Предположим, что , т. е. существует такая точка x = t, что |φ(t) - ψ(t)| = M> 0. (1) Возьмем ε> 0 произвольное, но меньше M/2. В силу непрерывности функции φ в точке x = t, для указанногоε> 0 существует δ> 0 такое, что |φ(t) - φ(t + h)| <ε, (2) как только |h| <δ.

Согласно условию, существует такое натуральное число k, что |φ(t + kT2) - ψ(t + kT2)| <ε, а тогда имеем Согласно условию, существует такое натуральное число k, что |φ(t + kT2) - ψ(t + kT2)| <ε, а тогда имеем |φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| <ε. (3) Из неравенств (2), (3) и периодичности функций φ и ψ следует неравенство |φ(t) - ψ(t)| = |φ(t) - φ(t + mkT2) + φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| ≤ |φ(t) - φ(t + mkT2)| + |φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| = = |φ(t) - φ(t + mkT2 - nT1)| + |φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| <ε + ε = 2ε, (4) если только |mkT2 - nT1| <δ. (5) Но мы выбрали такое число ε, что 2ε<M. Таким образом, неравенство (4) противоречит равенству (1). Источник противоречия - в предложении существования точки x = t, в которой |φ(t) - ψ(t)| = M> 0. Следовательно, такой точки не существует, т. е. φ(x) ≡ ψ(x), -∞ <x< +∞.