🗊Презентация Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №1Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №2Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №3Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №4Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №5Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №6Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №7Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №8Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №9Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №10Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №11Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №12Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №13Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования, слайд №14
Скачать
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Доклад-сообщение содержит 14 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


.
Описание слайда:
.

Слайд 2


ГЛАВА I. Неопределенный интеграл Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются свойства интегралов и связанных с ним процессов интегрирования. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа.
Описание слайда:
ГЛАВА I. Неопределенный интеграл Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются свойства интегралов и связанных с ним процессов интегрирования. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа.

Слайд 3


§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл Основная задача дифференциального исчисления: для функции f(x) найти f (x). Обратная задача: известна f (x), требуется найти f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) и F(x) определены на Xℝ. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Xℝ, если F(x) дифференцируема на X и xX выполняется равенство F (x) = f(x) . ПРИМЕРЫ. 1) F(x) = sinx – первообразная для f(x) = cosx на ℝ, т.к. (sinx)  = cosx , xℝ; 2) F(x) = ln| x | – первообразная для на любом проме- жутке, не содержащем точки x = 0 , т.к.
Описание слайда:
§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл Основная задача дифференциального исчисления: для функции f(x) найти f (x). Обратная задача: известна f (x), требуется найти f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) и F(x) определены на Xℝ. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Xℝ, если F(x) дифференцируема на X и xX выполняется равенство F (x) = f(x) . ПРИМЕРЫ. 1) F(x) = sinx – первообразная для f(x) = cosx на ℝ, т.к. (sinx)  = cosx , xℝ; 2) F(x) = ln| x | – первообразная для на любом проме- жутке, не содержащем точки x = 0 , т.к.

Слайд 4


ВОПРОСЫ: ВОПРОСЫ: 1) для любой ли функции существует первообразная; 2) если функция имеет первообразную, то будет ли она единственной? ТЕОРЕМА 1 (о связи первообразных). Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на X. Функция (x) будет первообразной для f(x) на X  функции (x) и F(x) на X связаны равенством (x) = F(x) + C, где C – некоторое число. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Описание слайда:
ВОПРОСЫ: ВОПРОСЫ: 1) для любой ли функции существует первообразная; 2) если функция имеет первообразную, то будет ли она единственной? ТЕОРЕМА 1 (о связи первообразных). Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на X. Функция (x) будет первообразной для f(x) на X  функции (x) и F(x) на X связаны равенством (x) = F(x) + C, где C – некоторое число. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 5


ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом Называют: f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, x – переменная интегрирования, символ ∫ – знак интеграла. По определению и теореме 1 где F(x) – любая первообразная для f(x), C – произвольная постоянная. Нахождение первообразной для функции f(x) называется интегрированием функции f(x).
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом Называют: f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, x – переменная интегрирования, символ ∫ – знак интеграла. По определению и теореме 1 где F(x) – любая первообразная для f(x), C – произвольная постоянная. Нахождение первообразной для функции f(x) называется интегрированием функции f(x).

Слайд 6


ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости). ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости). Если функция непрерывна на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную. Замечание. Производная от элементарной функции всегда является функцией элементарной. Первообразная от элементарной функции может не быть функцией элементарной. Интегралы от таких функций называются неберущимися. Неберущимися являются, например, интегралы
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости). ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости). Если функция непрерывна на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную. Замечание. Производная от элементарной функции всегда является функцией элементарной. Первообразная от элементарной функции может не быть функцией элементарной. Интегралы от таких функций называются неберущимися. Неберущимися являются, например, интегралы

Слайд 7


СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Производная неопределенного интеграла равна подинтег- ральной функции: Замечание. Неопределенный интеграл – множество функций. Свойство 1 утверждает, что производная каждой из них равна f(x).  правильность интегрирования всегда можно проверить: достаточно продифференцировать результат. При этом должна получиться подинтегральная функция.
Описание слайда:
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Производная неопределенного интеграла равна подинтег- ральной функции: Замечание. Неопределенный интеграл – множество функций. Свойство 1 утверждает, что производная каждой из них равна f(x).  правильность интегрирования всегда можно проверить: достаточно продифференцировать результат. При этом должна получиться подинтегральная функция.

Слайд 8


Замечание. Замечание. Имеем: F (x)  dx = dF(x).  Подинтегральное выражение является реальным произве- дением – дифференциалом первообразной функции F(x).  свойство 2 можно записать в виде 3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Описание слайда:
Замечание. Замечание. Имеем: F (x)  dx = dF(x).  Подинтегральное выражение является реальным произве- дением – дифференциалом первообразной функции F(x).  свойство 2 можно записать в виде 3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 9


4. Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак неопределенного интеграла: 4. Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак неопределенного интеграла: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
Описание слайда:
4. Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак неопределенного интеграла: 4. Постоянный множитель k (k  0) можно выносить за знак неопределенного интеграла: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Слайд 10


§2. Методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование Суть метода: с помощью простых преобразований (выполнение каких-либо арифметических действий, применение стандартных формул алгебра и геометрии и т.д.) подинтегральная функция записывается в виде суммы функций, первообразные для которых известны (говорят: «записывается в виде суммы табличных интегралов»). ПРИМЕР. Найти интегралы
Описание слайда:
§2. Методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование Суть метода: с помощью простых преобразований (выполнение каких-либо арифметических действий, применение стандартных формул алгебра и геометрии и т.д.) подинтегральная функция записывается в виде суммы функций, первообразные для которых известны (говорят: «записывается в виде суммы табличных интегралов»). ПРИМЕР. Найти интегралы

Слайд 11


2. Замена переменной (метод подстановки) 2. Замена переменной (метод подстановки) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется непрерывно диф- ференцируемой на промежутке Xℝ, если f(x) дифферен- цируема на X, причем ее производная f (x) – непрерывна на X . ТЕОРЕМА 3 (о замене переменной под знаком интеграла). Пусть :TX и x =(t) – непрерывно дифференцируема на T, f : X  Y и y = f(x) непрерывна на X. Тогда функции f(x) и f((t))   (t) интегрируемы на X и T соответственно, причем, если то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР. Найти интеграл
Описание слайда:
2. Замена переменной (метод подстановки) 2. Замена переменной (метод подстановки) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется непрерывно диф- ференцируемой на промежутке Xℝ, если f(x) дифферен- цируема на X, причем ее производная f (x) – непрерывна на X . ТЕОРЕМА 3 (о замене переменной под знаком интеграла). Пусть :TX и x =(t) – непрерывно дифференцируема на T, f : X  Y и y = f(x) непрерывна на X. Тогда функции f(x) и f((t))   (t) интегрируемы на X и T соответственно, причем, если то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР. Найти интеграл

Слайд 12


3. Внесение функции под знак дифференциала – частный случай подстановки 3. Внесение функции под знак дифференциала – частный случай подстановки СЛЕДСТВИЕ 4 теоремы 3 (об инвариантности формул интегри- рования). Любая формула интегрирования остается справедливой, если везде заменить переменную на непрерывно дифференци- руемую функцию, т.е. если то где u = (x) – любая непрерывно дифференцируемая функция Например, так как то
Описание слайда:
3. Внесение функции под знак дифференциала – частный случай подстановки 3. Внесение функции под знак дифференциала – частный случай подстановки СЛЕДСТВИЕ 4 теоремы 3 (об инвариантности формул интегри- рования). Любая формула интегрирования остается справедливой, если везде заменить переменную на непрерывно дифференци- руемую функцию, т.е. если то где u = (x) – любая непрерывно дифференцируемая функция Например, так как то

Слайд 13


4. Интегрирование по частям 4. Интегрирование по частям ТЕОРЕМА 5. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на Xℝ . Тогда на X существуют интегралы и справедливо равенство (1) Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Описание слайда:
4. Интегрирование по частям 4. Интегрирование по частям ТЕОРЕМА 5. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на Xℝ . Тогда на X существуют интегралы и справедливо равенство (1) Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 14


Замечания. Замечания. 1) при нахождении интеграла формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз, постепенно «улучшая» остающийся интеграл; 2) формула интегрирования по частям – единственная возможность найти интегралы вида где Pn(x) – многочлен степени n, (x) – показательная, логарифмическая, тригонометрическая или обратная тригонометрическая функция; 3) с помощью формулы интегрирования по частям находятся также циклические интегралы: ПРИМЕР. Найти интегралы
Описание слайда:
Замечания. Замечания. 1) при нахождении интеграла формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз, постепенно «улучшая» остающийся интеграл; 2) формула интегрирования по частям – единственная возможность найти интегралы вида где Pn(x) – многочлен степени n, (x) – показательная, логарифмическая, тригонометрическая или обратная тригонометрическая функция; 3) с помощью формулы интегрирования по частям находятся также циклические интегралы: ПРИМЕР. Найти интегралы

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию