🗊Презентация Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

Семинар 6. Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления Семинар 6. Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления Первый замечательный предел (предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге) Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть (1) Доказательство

(Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак (Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак , е=2,7182818284… Рассмотрим функцию , где . Можно доказать, что Другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: ; ; . Данные формулы легко получаются из двух основных формул. Примеры с решениями 1.Найти Решение. Используя первый замечательный предел, имеем = =

2. Найти Решение. Имеем = = 3. Найти Решение. Имеем = 4. Найти Решение. Сделаем замену . Тогда получим = 5. Найти Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное, то есть

6. Найти Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел. = 7. Найти Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел. = 8. Найти

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть, а именно Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть, а именно . Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел. = = = . Так как , при , то . Принимая во внимание, что , окончательно получаем . 9. Найти Решение. Сделав замену , получим второй замечательный предел, а именно