Поля и линейные пространства - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Поля и линейные пространства. Доклад-сообщение содержит 56 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Поля и линейные пространства

Слайд 2

Описание слайда:

Обозначения Заглавные латинские буквы (A, …)- множества Прописные латинские буквы (a,b…) – элементы множества

Слайд 3

Описание слайда:

Поле Определение. Множество К называется полем, если в нем введены две бинарные операции: сложение и умножение удовлетворяющие аксиомам:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Простейшие свойства поля Нулевой элемент единственный Противоположный элемент единственный. Единичный элемент единственный. Обратный элемент единственный.

Слайд 7

Описание слайда:

Определение вычитания и деления в поле Определение. Замечание. Такое определение корректно, благодаря единственности противоположного и обратного элемента.

Слайд 8

Описание слайда:

Примеры полей Множество R – вещественных чисел является полем Множество Q - рациональных чисел является полем. Множество F2 ={0,1} – из двух элементов является полем

Слайд 9

Описание слайда:

Линейное пространство. Определение. Множество V называется линейным пространством над полем K, если в нем введены две бинарные операции: сложение и умножение на число из поля удовлетворяющие аксиомам:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Простейшие следствия из аксиом ЛП Нулевой элемент единственный. Противоположный вектор единственный. Определение:

Слайд 13

Описание слайда:

Линейная комбинация векторов V- ЛП Определение. Выражение вида называется линейной комбинацией векторов

Слайд 14

Описание слайда:

Линейная оболочка векторов Определение. Пусть - система векторов. Множество всех линейных комбинаций данной системы векторов называют линейной оболочкой системы векторов:

Слайд 15

Описание слайда:

Выражение вектора через линейную комбинацию Определение. Если некоторый вектор представлен в виде то говорят, что вектор линейно выражается через вектора

Слайд 16

Описание слайда:

Линейная зависимость Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел таких, что

Слайд 17

Описание слайда:

Линейная независимость Определение. Система векторов называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда все числа равны нулю.

Слайд 18

Описание слайда:

Алгебраические свойства систем линейных векторов. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима. Если часть системы векторов (подсистема) линейно зависима, то и вся система векторов тоже линейно зависима. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор, линейно выражающийся через остальные вектора

Слайд 19

Описание слайда:

Геометрические свойства систем векторов. Система состоящая из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Система состоящая из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны. Система состоящая из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда три вектора компланарны.

Слайд 20

Описание слайда:

Базис линейного пространства V – ЛП Определение. Система векторов называется базисом ЛП V, если эта система ЛНЗ и любой вектор из V линейно выражается через Замечание. В ЛП V базис определяется не единственным образом (можно выбрать несколько базисов), но количество базисных векторов n остается неизменной величиной.

Слайд 21

Описание слайда:

Размерность линейного пространства Определение. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства V. Обозначение. dimV=n.

Слайд 22

Описание слайда:

Координаты вектора в базисе Из определения базиса ЛП V следует, что любой вектор в этом ЛП линейно выражается через базисные векторы : Определение. Координатами вектора x называются коэффициенты в разложении по базисным векторам:

Слайд 23

Описание слайда:

Координаты вектора в базисе Замечание. Координаты вектора x зависят от выбора базиса. В разных базисах у одного и того же вектора x разные координаты.

Слайд 24

Описание слайда:

Подпространства линейного пространства

Слайд 25

Описание слайда:

Подпространства и подмножества Определение. Подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством, если оно является линейным пространством относительно операций из V. Обозначение. Утверждение. (ноль принадлежит любому подпространству) Утверждение. Для любого линейного пространства V подмножества {0} и V являются подпространствами.

Слайд 26

Описание слайда:

Примеры подпространств.

Слайд 27

Описание слайда:

Равносильное определение. Утверждение. Множество W является линейным подпространством V тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на число:

Слайд 28

Описание слайда:

Подпространства матриц Пусть W1 – симметрические матрицы W2 – кососимметрические матрицы

Слайд 29

Описание слайда:

Подпространства C[a,b] Пусть V=C[a,b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a,b]

Слайд 30

Описание слайда:

Пересечение и объединение подпространств Пусть V – ЛП, W1, W2 – подпространства V Определение. Утверждение. Пересечение подпространств является подпространством. Замечание. Объединение подпространств не является подпространством.

Слайд 31

Описание слайда:

Сумма подпространств Определение. Утверждение. Сумма двух подпространств является подпространством. Замечание. Разложение произвольного вектора из W1+W2 по W1 и W2 возможно не единственным образом.

Слайд 32

Описание слайда:

Пример суммы подпространств Пример. W1=XOY W2=YOZ W1+W2=R3 Поскольку для любого вектора возможно разложение:

Слайд 33

Описание слайда:

Прямая сумма подпространств Определение. Пространство V называется прямой суммой подпространств W1 и W2, если V=W1+W2 и любой вектор x представим в виде x=w1+w2 единственным образом. Обозначение. Пример. Поскольку разложение единственнно

Слайд 34

Описание слайда:

Теорема о размерности Теорема. Пусть V=W1+W2. Тогда Доказательство. Пусть e1, e2….ek - базис W1∩W2 . dim(W1∩W2 )=k e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ - базис W1, dimW1=k+ℓ e1, e2….ek, b1, b2…. bm - базис W2, dimW2=k+m Для доказательства теоремы достаточно проверить, что e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ b1, b2…. bm - базис V

Слайд 35

Описание слайда:

Доказательство Проверим, что e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ b1, b2…. bm ЛНЗ система векторов Левая часть последнего равенства принадлежит W1, правая часть принадлежит W2, следовательно и левая и правая части принадлежат W1∩W2, это значит, что правую часть можно выразить через базис пересечения.

Слайд 36

Описание слайда:

Доказательство

Слайд 37

Описание слайда:

Доказательство

Слайд 38

Описание слайда:

Доказательство 2. Проверим, что любой вектор из ЛП V линейно выражается через систему e1,…ek, a1,…aℓ, b1…bm. □

Слайд 39

Описание слайда:

Теоремы о прямой сумме Теорема 1. Пусть V=W1+W2. Тогда Тогда и только тогда, когда ноль раскладывается единственным образом: . Теорема 2.

Слайд 40

Описание слайда:

Изменение координат вектора при замене базиса

Слайд 41

Описание слайда:

Матрица перехода V – линейное пространство e1, e2,e3…..en – первый базис (1) e’1, e’2,e’3,…e’n – второй базис (2) (количество векторов n=dimV, но сами вектора разные) Выразим вектора второго базиса через вектора первого базиса:

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

Изменение координат вектора

Слайд 46

Описание слайда:

Слайд 47

Описание слайда:

Слайд 48

Описание слайда:

Изоморфизм линейных пространств

Слайд 49

Описание слайда:

Определение изоморфизма V1, V2 – два ЛП Определение. Пространство V1 изоморфно V2, если существует взаимно-однозначное соответствие f: V1→V2 такое, что f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) и f(αx1)=αf(x1) для любых x1, x2 принадлежащих V1, α принадлежащих K. Обозначение.

Слайд 50

Описание слайда:

Свойства изоморфизма Рефлективность Симметричность Транзитивность

Слайд 51

Описание слайда:

Утверждение. Если V1 изоморфно V2, то f(0v1)=0v2 (при изоморфизме ноль переходит в ноль) Доказательство.

Слайд 52

Описание слайда:

Теорема. V изоморфно W тогда и только тогда, когда dimV=dimW. Доказательство.

Слайд 53

Описание слайда:

Слайд 54

Описание слайда:

Слайд 55

Описание слайда:

Утверждение. Любое линейное пространство размерности n изоморфно n-мерному координатному пространству Rn. Доказательство. Всякий вектор v=α1e1+…αnen принадлежащий ЛП V изоморфен вектору с координатами (α1,….αn) (Выполнение свойств изоморфизма проверить самостоятельно)