🗊Презентация Понятие предела функции

Понятие предела функции Понятие предела. Свойства пределов. Вычисление предела функции. Раскрытие неопределенности. Замечательные пределы (I, II)

Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел. Бесконечность — используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел. Бесконечность –сколь угодно большое (малое), безграничное число. Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс (ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Предел функции на плюс бесконечности Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на минус бесконечности Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Определение  Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.  Функция f имеет предел в точке x0,  если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,  последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А,  которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется

Определение Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию |х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство |f (x) — A| < ε.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),   показательная функция (ax), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),   показательная функция (ax), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках. 

Примеры функций, имеющих предел в точке

Свойства предела функции в точке

Вычисление предела функции в точке

Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Замечательные пределы первый замечательный предел второй замечательный предел

Примеры

Односторонние пределы Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство   При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1 

Предел функции  справа Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство  При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2