🗊Презентация Понятие производной. Сферы применения производной

Творческое название Гимн производной Флюксия! Слово прекрасное, может, волшебное? Флюксия! Петь даже хочется что-то душевное. Флюксия! Точки экстремума: минимум, максимум. Флюксия! Флюксия! Флюксия!

Цель проекта: Повторить понятие производной; Выявить сферы применения производной; ■ Умение самостоятельно находить, изучать и обобщать учебный материал. ■ Умение применять полученные знание в нестандартных и жизненных ситуациях. ■ Научиться составлять и решать задачи с применением производной.

Основополагающий вопрос Значит изучать производную нам нужно?

Типология проекта: Типология проекта: обобщающий, с элементами исследования Категория учащихся: 10 класс Предметные области: алгебра и начала анализа, геометрия, физика, химия, география, экономика, биология, история.

ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ История возникновения производной. Задачи, приводящие к применению производной. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Начнём... Производная – одно из фундаментальных   понятий математики. Оно возникло в 18 веке.   Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию  дифференциального исчисления.

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г. Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

А кстати Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли  Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши.       Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые  определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время  используется почти во всех курсах анализа.

«Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой.» «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой.»

Касательная к кривой.

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ? Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде

Задача о теплоёмкости тела Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).

Решение Пусть Q=Q(t). Рассмотрим малый отрезок [t; t+t], на этом отрезке Q=c(t) • t c(t)= Q/t При t0 lim Q/t =Q′(t) t0 c(t)=Q′(t)

Задача о мгновенной величине тока Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

Исаак Ньютон (1643 – 1727) «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.»

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи

Примеры использования в формулах 1) V(t)=X`(t)-скорость 2) а(t)=V`(t)-ускорение 3) I(t)=q`(t)-сила тока 4) с(t)=Q`(t)-теплоёмкость 5) N(t)=A`(t)-мощность

Производная – основное понятие в математике, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Так как скорость химической реакции V непрерывно изменяется в ходе процесса, её обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Если C(t)- закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени t равна производной: Если C(t)- закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени t равна производной: V(t)= C`(t)

Предел отношения приращённой функции к приращённому аргументу при стремлении Δt к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени Предел отношения приращённой функции к приращённому аргументу при стремлении Δt к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени

Понятие производной очень важно в химии, особенно при определении скорости течения реакции.

Задача : По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Решение:

Экономические задачи Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства. В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер. Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер. Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price). Таким образом ,  MR= P.

Экономические задачи Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t0

Экономика Задание. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы. Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t Меньший оборот был на девятом месяце- 0,45. На 10 месяце -5.

Экономика П (t) = υ' (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции J(x) = y' (x) - предельные издержки производства, где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Задача : Задача : Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

ГЕОГРАФИЯ Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t). N'(t)=kN(t) Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует. Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Решение:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом; д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

е) П (t) = υ' (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции. е) П (t) = υ' (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции. ж) J(x) = y' (x) - предельные издержки производства, где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции. x.

ВЫВОД: Производная нашла широкое применение: а) в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций; б) в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения, плотности неоднородного тела и др. в) в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной к кривой, а также в геометрии, астрономии, аэродинамике, химии и экономике, биологии и медицине.

Учёные – химики.

Учёные – математики.

Учёные – биологии.

Учёные – географы.

Учёные – исследователи.

Учёные – физики.

Учёные – экономики.