🗊Презентация Последовательности и прогрессии в жизни

Последовательности и прогрессии в жизни. Автор: Каримова Лилия учащаяся 10 класса ГБОУ СОШ «Образовательный центр» п.г.т. Рощинский м.р. Волжский Самарской области Научный руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории Пятовская Людмила Петровна.

Оглавление 1. Введение 2. Историческая справка 3. Понятие последовательности, прогрессии 4. Решение задач древности и современного мира при помощи свойств и формул прогрессий 5. Исследовательская работа 6. Способы решения задач, используемых в ЕГЭ по математике 7. Заключение 8. Список используемой литературы

1.Введение Проблема , изложенная в моем проекте, заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать задачи на последовательности и прогрессии (задание вида С6). Но в курсе средней школы эта тема изучается только в 9 классе и немного в 10. По моему мнению, в процессе изучения материала недостаточное внимание уделяется задачам повышенной трудности, умение решать которые –необходимое условие для качественной подготовки к ЕГЭ. Цель: 1)Узнать, как открыли прогрессии, кто из математиков занимался этим вопросом; 2)Узнать применение формул арифметической и геометрической прогрессии при решении задач древности; 3) Хорошо подготовиться к сдаче ЕГЭ, научившись решать задания вида С6.

Задачи исследования: 1.Расширить свои знания в математике, связанные с понятием “последовательности и прогрессии”. 2.Повысить свою математическую культуру, используя понятие “последовательности и прогрессии ” при решении задач, представленных в части С6 экзамена по математике за курс средней школы в форме ЕГЭ.   Объект и предмет исследования – «Числовые последовательности. Прогрессии», их свойства, история и возможности применения в различных областях науки и жизни человека. В этом проекте мы познакомимся с числовыми последовательностями, формулами арифметической и геометрической прогрессии, так же научимся решать задачи на эту тему. Гипотеза: 1. Я считаю, что открытие прогрессий было неизбежно и способствовало развитию математики в целом. 2.Я считаю, что многие задачи древности могли решаться с помощью формул арифметической и геометрической прогрессии.

2.Историческая справка. Термин «Прогрессия» от латинского слова «движение вперед» введен римским автором Боэцием (VI век.). В математике: это всякая последовательность чисел, построенная по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.  

Арифметическая и геометрическая прогрессии в древности. Встречаются во II тысячелетии до н.э.: Клинописные таблички Вавилонян, Египетские папирусы, «Математика в девяти книгах».

3.Понятие последовательности и прогрессии. Основные виды. Числовая последовательность - множество чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров, т.е. а1, а2, а3, …, an, … или сокращенно (an). Числа, из которых составлена последовательность, называют членами. Последовательность бывает: стационарная, устанавливающаяся, ограниченная, неограниченная, монотонная и другие.

Прогрессия. Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу.  

Арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии.

4.Решение задач древности и современного мира при помощи свойств и формул прогрессий. Абрахам де Муавр – английский математик, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер. Так с помощью арифметической прогрессии можно предугадать какой-либо результат развития природного явления.

Какую награду получил Полководец Теренций от скупого императора? Много веков назад в Древнем Риме Полководец Теренций попросил у императора миллион динариев для обеспечения остатка своей жизни. И на эту просьбу Император ответил: “Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету, равную 1 брассу в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, а на третий день, стоящую 4 брасса, и так далее. Будешь нести их до тех пор, пока не останется сил на последнюю монетку. Все эти монеты я отдам тебе, в качестве награды за работу”. И Теренций согласился. Прошло 18 дней. С каждым днем вес монет увеличивался, и получилось, что на 18-ый день было 131072 брасса весом 655 кг 360 г. Полководец просил у императора миллион динариев, т. е. 5000000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в 19 раз (5000000 : 262143 ≈ 19 раз).

Задача № R79 папируса Ринда. Задача № R79 папируса Ринда говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях геометрическая прогрессия. Впрочем, нам известно только то, что египтяне использовали для прогрессии числа «2» и «1/2», т.е. могли получать такие значения как: 1/2, 1/4, 1/8... и 2, 4, 8, 16...

Задача из современного мира. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно очко, за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? Решение: Каждый промах является членом арифметической прогрессии (an). Первый промах а1=1, Следующий промах а1+0,5 = a2, значит , d=0,5. Всего штрафных очков Sn=7. Всего выстрелов 25. Sn= Получаем, что 7= и в результате получается, что n=4. Значит, стрелок попал в цель 21 раз (25-4=21 раз). Ответ: 21 раз.

5.Исследовательская задача.   Цель исследовательской работы: Выяснить применение формул геометрической прогрессии при решении задач современного мира. Задачи исследования: Условие задачи, Решение задачи алгебраическим методом, Решение задачи с использованием формул геометрической прогрессии.   Задача: С какой скоростью распространяется важная и интересная информация в школе? Условие задачи: В нашей школе 1000 учеников. Учитель в 8.30 сообщил четырем учащимся важную и интересную информацию. В свою очередь эти четыре ученика рассказали эту информацию четырем своим соседям и так далее. За какое время эта информация станет известна всем учащимся?

Решение задачи (способ I): Если в 9.45 новость станет известна 1365 учащимся, а значит и 1000 учащимся будет известна тем более!

Решение задачи (способ II):   Зная формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, определим параметры задачи: b1=1, q=4, Sn=1000, Sn= , 1000= = , решая это уравнение, получаем: 3001 = , Sn= = =1365. Значит, в 9.45 важная информация станет известна 1365 учащимся, а значит и 1000 учащимся будет известна тем более! Ответ: понадобится менее часа.  

Задача:

Задача: Решение: На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -7. А) сколько чисел написано на доске? Б) каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? В) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Задача: Решение: Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

7.Заключение. Работа над проектом завершена. И я довольна результатом. Во-первых, узнала историю возникновения последовательностей, как решать задачи на эту тему, во-вторых, научилась решать эти задачи, в-третьих, думаю, что достигла своей цели и поставленных задач. Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать задачи на тему последовательности и прогрессии, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных математических примеров, но и для решения различных задач в жизни и в быту. Я думаю, что проект может принести пользу не только мне, но и тем учащимся, которые так же как и я, захотят ознакомиться с этой темой в процессе подготовки к итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ. Моя работа будет являться хорошим помощником им в этом.

8.Список используемой литературы.   1.Рудченко П.А., Яремчук Ф.П., “Алгебра и элементарные функции”, справочник; издание третье, переработанное и дополненное. Киев ,1987 год. 2. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс (в двух частях). Учебник для учащихся общеобразовательных школ. – М.: Мнемозина, 2009 3. Перельман Я.И. Живая математика. – Д.: ВАП,1994 4.Нагибин Федор Федорович, Канин Евгений Степанович – математическая шкатулка. 5. С.М. Никольский, М.К. Потапов. Алгебра. Пособие для самообразования. Москва «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1984. 6. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. Москва. «Просвещение».1989 год. 7.Перельман Я.И. “Занимательная алгебра”. – Д.:ВАП, 1994. 8. Интернет – ресурсы: http://domznaniy.com/mathematics/a_a7_0/a_a7_0_all.pdf .