🗊Презентация Последовательности. Основные понятия и определения. Действительные числа. (Лекция 1)

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками. Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой. Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .

Предел последовательности Предел последовательности Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности. 1.Числовые последовательности В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия. Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел

называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M – верхняя грань; m – нижняя грань. Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству . Примеры: 1)Последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1. 2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. 3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству Замечание 1 Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Замечание 2 Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Пример: Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно большой, поскольку при А>1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами. Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству . Рассмотрим пример:

рассматриваемая последовательность является бесконечно большой. рассматриваемая последовательность является бесконечно большой. Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей Теорема 1 Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. Доказательство Пусть - бесконечно малые последовательности. Докажем, что - бесконечно малая последовательность

Теорема 4 Теорема 4 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство Пусть - бесконечно малая последовательность; Пусть - ограниченная последовательность.

Поэтому последовательность - бесконечно малая. Поэтому последовательность - бесконечно малая. Следствие Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Замечание Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла. Например

Теорема 6 Теорема 6 Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны 0, то последовательность - бесконечно большая. Доказательство Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого

Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность - бесконечно малая. Доказательство второй части теоремы проводится аналогично. Сходящиеся последовательности и их основные свойства Определение Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0. Другое определение

Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности. Символическая запись . Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности. Символическая запись . Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то последовательность сходится к бесконечности определенного знака. Символическая запись Замечание 1 Неравенство (1) эквивалентно неравенствам . Эти неравенства означают, что элемент находится в - окрестности числа а (это интервал ). Еще определение Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что в - окрестности числа а находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Определение сходящейся последовательности утверждает, что разность - бесконечно малая последовательность. Следовательно, всякий элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде (2), где - элемент бесконечно малой последовательности. Замечание 2 Из определения предела последовательности, очевидно, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину этого предела.