Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1)

Нажмите для полного просмотра!

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №2

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №3

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №4

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №5

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №6

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №7

Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1), слайд №8

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1). Доклад-сообщение содержит 8 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Семинар 1. Последовательности. Предел последовательности. 1. Понятие предела. Определение Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0. Другое определение Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что можно указать номер , такой, что при все удовлетворяют неравенству (1). Число а – предел последовательности. Символическая запись или при . 2. Свойства сходящихся последовательностей Теорема 1 Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Теорема 2 Сходящаяся последовательность ограничена. Теорема 3 Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Слайд 2

Описание слайда:

Теорема 4 Теорема 4 Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и Теорема 5 Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и . Теорема 6 Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и . Теорема 7 Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству Теорема 8 Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству

Слайд 3

Описание слайда:

2.Ограниченные и неограниченные последовательности 2.Ограниченные и неограниченные последовательности Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M – верхняя грань; m – нижняя грань. - условие ограниченности последовательности сверху (снизу). Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней. Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M – верхняя грань; m – нижняя грань. Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству . Примеры: 1)последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.

Слайд 4

Описание слайда:

2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. 2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. 3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена. 3. Монотонные последовательности Определение Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров n справедливо неравенство Общее название – монотонные последовательности. Если для всех n - возрастающая. Если для всех n - убывающая. Общее название – строго монотонные. 4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству Определение 2 Последовательность называется бесконечно малой, если для , можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству . Примеры с решениями Пример 1. Доказать исходя из определения, что число 1 является пределом последовательности Доказательство. Рассмотрим модуль разности . Введем

Слайд 5

Описание слайда:

произвольное число . Неравенство будет выполнено, если то есть при . В качестве N возьмем какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию , то есть . Тогда для всех произвольное число . Неравенство будет выполнено, если то есть при . В качестве N возьмем какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию , то есть . Тогда для всех выполнены неравенства . Это и означает, что число 1 есть предел последовательности , то есть Пример 2. Доказать исходя из определения, что . Доказательство. Так как для любого , то . Пусть , выберем натуральное N такое, что . Тогда для любого имеем . Значит . Пример 3. Доказать, что последовательность расходится. Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограниченна. Имеем Пусть С – произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное число , тогда . Это означает, что последовательность Пример 4. Найти Решение. Преобразуем формулу общего элемента к виду

Слайд 6

Описание слайда:

Учитывая, что - бесконечно малые последовательности, и используя теоремы о пределах, получаем Учитывая, что - бесконечно малые последовательности, и используя теоремы о пределах, получаем Пример 5. Пусть для любого n; пусть p – натуральное число. Доказать, что Доказательство. Если , а если поэтому . Объединяя эти результаты, для любого получаем . Так как и . Отсюда следует, что и Пример 6. Найти Решение. Преобразуем формулу общего элемента: .