🗊Презентация Практикум №8 по решению стереометрических задач

Содержание

Задача №1 Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого? Решение. Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S=πrl. Значит S1= π·3·9= 27π, S2= π·6·9= 54π. Тогда S2: S1= 54π : 27π = 2

Задача №2 Объём ко­ну­са равен 135. Через точку, де­ля­щую вы­со­ту ко­ну­са в от­но­ше­нии 1:2, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Най­ди­те объём ко­ну­са, от­се­ка­е­мо­го от дан­но­го ко­ну­са про­ведённой плос­ко­стью.

К задаче №2 Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Решение. Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k. Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32 : 2³ = 4.

Задача №3 Объём конуса равен 50π  а его высота равна 6 . Найдите радиус основания конуса.

Задача №4 Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Задача №5 Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Задача №6 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Задача №7 Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?

Задача №8 Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

Задача №9 Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Задача №10 Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.

Задача №11 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Задача №12 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Решение Пусть х — высота налитой жидкости, у — радиус окружности в основании конуса. Тогда 2х — высота сосуда, 2у — радиус окружности в основании сосуда (так как поверхность жидкости отсекает от конического сосуда конус подобный данному). Найдем отношения объёмов конусов,

Задача №13 Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

Задача №14 Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Решение Найдём площадь боковой поверхности первого конуса: S1=π·R1·L1 = π·2·4=8π 2) Найдём площадь боковой поверхности второго конуса: S2=π·R2·L2 = π·6·8=48π 3) Найдём отношение площадей этих конусов: S2 : S1 = 48π : 8π = 6

Задача №15 Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2.  Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Sб.п.= 2πR·h, но R=h следовательно Sб.п.= 2πR² и =3√2 => πR² =1,5√2 2) Площадь боковой поверхности конуса равна S=πR·L, Но L² = R²+h², но R=h => L² = 2R² => L = R√2. Значит Sб.п.= πR·L= πR· R√2 = πR²·√2 = = 1,5√2·√2 = 3

Задача №16 Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Задача №17 Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Задача №18  Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью

Решние Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

Задача №19 Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Задача №20 Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2.   Найдите образующую конуса.

Задача №21 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Задача №22 Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение

Задача №23 Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .

Задача №24 Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задача №25 Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π .

Задача №26 Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Решение В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на           вычисляется следующим образом:

Задача №27 Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.

Решение Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в     30° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: R=√2²-1=√3

Задача №28 Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

Задача №29 Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №30 Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №31 Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №32 Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №2 Решить самостоятельно Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Ответ:1 Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2 Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Задача №3 Решить самостоятельно Объём конуса равен  9π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:3 Объём конуса равен  25π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:5

Задача №4 Решить самостоятельно Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза? 2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза? 3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?

Задача №5 Решить самостоятельно Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз? 2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза? 3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?

Задача №6 Решить самостоятельно Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?

Задача №7 Решить самостоятельно Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней? 2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней? 3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?

Задача №8 Решить самостоятельно Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17 2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13 3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10

Задача №9 Решить самостоятельно Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:108 2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса. 3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.

Задача №10 Решить самостоятельно Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5

Задача №11 Решить самостоятельно В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3  высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 364 2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 280 3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4  высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:

Задача №19 Решить самостоятельно Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60 2)

Задача №21 Решить самостоятельно Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса.

Задача №23 Решить самостоятельно Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . 2) Радиус основания конуса равен 28, высота равна 21. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . 3) Радиус основания конуса равен 15, высота равна 36. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .

Задача №24 Решить самостоятельно Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6 Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задача №25 Решить самостоятельно Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на π . 2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на π . 3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на π .

Задача №26 Решить самостоятельно Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Задача №27 Решить самостоятельно Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Ответ: 10 648 Найдите объем конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.

Задача №28 Решить самостоятельно Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π. Ответ:19,5 Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12. Найдите его объем, деленный на π. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9. Найдите его объем, деленный на π.

Задача №29 Решить самостоятельно 1) Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №30 Решить самостоятельно Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №31 Решить самостоятельно Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №32 Решить самостоятельно Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Используемые ресурсы Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна