🗊Презентация Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)

Семинар 4. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Семинар 4. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Определение Число А называется пределом функции f(x) при , то есть , если - Неравенство (1) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), то есть для ; согласно определения предельной точки в каждой окрестности множество таких точек не пусто. Определение Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что . Это эквивалентно (1) или (2). Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , . Определение Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х. Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут Пример при

Записи и соответственно означают Записи и соответственно означают при и при 1.Если при , то при 2.Если при , то при Основные теоремы о бесконечно малых функциях: Теорема 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Теорема 2 Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при функцию, есть функция бесконечно малая функция при . Теорема 3 Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Следствие Целая положительная степень бесконечно малой функции при есть бесконечно малая функция. Замечание Отношение двух бесконечно малых функций при может быть функцией произвольного поведения . С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые. Определение 1 Две бесконечно малые функции при имеют одинаковый порядок при , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть Определение 2 При порядок бесконечно малой функции выше порядка бесконечно малой функции , если отношение есть бесконечно малая

при , то есть . В этом случае пишут при . при , то есть . В этом случае пишут при . Определение 3 При бесконечно малая функция имеет порядок n (n – натуральное число) относительно бесконечно малой функции при , если При вычислении пределов часто используется следующая таблица эквивалентных функций

Примеры с решениями Примеры с решениями 1.Пусть t –бесконечно малая величина. Сравнить бесконечно малые и Решение. Найдем Так как предел отношения к есть число, отличное от нуля, то эти величины – бесконечно малые одного и того же порядка 2.Сравнить бесконечно малые и при Решение. Найдем 3.Сравнить бесконечно малые и при Решение. Найдем 4.Найти Решение. Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми: ln(1+3xsinx)~3xsinx , . Тогда получим

Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 1. Определить порядок бесконечно малой величины по сравнению с бесконечно малой x. 2. Определить порядок бесконечно малой величины по сравнению с бесконечно малой x. 3. Определить порядок бесконечно малой величины по сравнению с бесконечно малой x. 4. Сравнить бесконечно малые и при 5. Найти следующие пределы :