🗊Презентация Предел функции по Коши

Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x0. В самой точке x0 функция может быть и не определена. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при xx0 если по любому сколь угодно малому положительному числу ε всегда можно найти положительное δ такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |x - x0| < δ будет выполняться неравенство | f(x) – A | < ε. Краткая запись определения:

Предел функции по Гейне

Свойства пределов Если предел функции f(x) при хx0 существует, то он единственный. Если функция f(x) при х x0 имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки x0. Функция имеет предел тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму постоянной, равной этому пределу и бесконечно малой величины.

Свойства пределов Если функции f(x) и g(x) имеют предел при хx0 , то их сумма, разность, произведение и частное имеют предел при х x0, причем ; ; Если функция f(x) имеет предел при хx0, то произведение с*f(x) имеет предел при хx0, с – константа, причем . Пусть и существует проколотая окрестность U*(x0,) такая, что f(x) > 0 x  U*(x0,), тогда А  0.

Свойства пределов Пусть и пусть и f(x) < g(x) xU*(x0, ) (или f(x) ≤ g(x)), тогда А ≤ B. Пусть x  U*(x0,) выполняется f(x) ≤ g(x) ≤ (x). Если существует и существует , причем , то существует и . Свойство о пределе композиции функций. Пусть и существуют тогда g(f(x))=g  f имеет предел при хx0, причем .

Свойства б.м. функции Сумма, разность, произведение двух б.м. при x  x0 есть функция б.м. при x  x0. Пусть (x) - б.м. при x  x0, f(x) – ограниченна в U*( x0, ), тогда (x) f(x) – б.м. при x  x0. Если (x) - б.м. при x  x0, то с (x) - б.м. при x   x0, с-константа. Если функция у = f(x) – б.м. при x x0 и f(x)  0 в некоторой окрестности точки x0, то функция y=1/f(x) – б.б. при x  x0. Если функция у = f(x) - б.б. при x  x0, и f(x) 0 в некоторой окрестности точки x0, то функция y = 1/f(x) – б.м. при x  x0. О роли б.м. в теории пределов.

Односторонние пределы Определение. Число А называется пределом функции f(x) при хx0 слева, если для любого >0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х0 – x <  выполняется неравенство |f(x) – А|<. Число А называется пределом функции f(x) при хx0 справа, если для любого >0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х – x0<  выполняется неравенство |f(x) – А|<. Обозначение: или f(x0 – 0) предел слева при хx0, или f(x0+0) предел справа при хx0.

Односторонние пределы Теорема 2. (О существовании конечного предела.) Пусть x0R. Функция f(x) имеет конечный предел при х x0 тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные между собой пределы = =A, при этом . Замечание 1. Все свойства пределов остаются верными и в случае односторонних пределов. Замечание 2. Определение одностороннего предела на языке последовательностей дается также как и определение предела при х x0 с той лишь разницей, что для последовательности {xn} должно выполняться условие xn < x0 для предела слева и xn > x0 для предела справа.

Замечательные пределы Теорема 3. Предел отношения sin x к своему аргументу x равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т. е. – 1 замечательный предел. (или ) – 2 замечательный предел. Следствия: 1) , 2) , 3) .

Сравнение бесконечно малых Пусть (x), (x) – б.м. при x  x0, где x0 – конечно или б.б. Определение. Если , то говорят, что (x) б.м. более высокого порядка, чем (x) при х  x0, или что (x) - б.м. низшего порядка относительно (x). Обозначение: (x) =о((x)). Определение. Если , где с = const  0, то (x) и (x) называют б.м. одного порядка. В частности, если , то (x) и (x) называются эквивалентными. Обозначение: (x) ~ (x). Определение. Б.м. (x) называется бесконечно малой порядка k относительно б.м. (x), если , где с = const  0.

Теорема 2. (О замене б.м. на эквивалентную.) Если (x) ~ 1(x), (x) ~ 1(x) и , то , т.е. предел отношения б.м. не меняется при замене их эквивалентными бесконечно малыми:

Таблица эквивалентностей Пусть (х)  0 при x  x0. Тогда при x  x0

Теорема 2. (Критерий эквивалентности б.м.) Б.м. (x) и (x) при x  x0 эквивалентные б.м. тогда и только тогда, когда их разность (x) – (x) – б.м. более высокого порядка, чем (x) и (x) при x  x0. Замечание 1. Аналогично б.м. можно сравнивать и б.б., а именно если f(x) и (x)-б.б. при x  x0 и  f(x) б.б. более высокого порядка, чем (x);  f(x) б.б. более низкого порядка, чем (x);  f(x) и (x) эквивалентные б.б. при x  x0. Замечание 2. Теоремы 1 и 2 для б.б. функций остаются верными с той лишь разницей, что главной частью б.б. функции является б.б. более высокого порядка.

Спасибо за внимание