🗊Презентация Приближенные методы решения определенных интегралов

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №1Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №2Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №3Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №4Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №5Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №6Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №7Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №8Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №9Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №10Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №11Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №12Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №13Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №14Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №15Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №16Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №17Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №18Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №19Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №20Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №21Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №22Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №23
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Приближенные методы решения определенных интегралов. Доклад-сообщение содержит 23 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Приближенные методы решения определенных интегралов
Описание слайда:
Приближенные методы решения определенных интегралов

Слайд 2


Численное интегрирование Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса. Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.
Описание слайда:
Численное интегрирование Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса. Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Слайд 3


Постановка задачи Вычислить определенный интеграл при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
Описание слайда:
Постановка задачи Вычислить определенный интеграл при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Слайд 4


Недостатки формулы Ньютона-Лейбница первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях; функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных. В этих случаях используются методы численного интегрирования.
Описание слайда:
Недостатки формулы Ньютона-Лейбница первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях; функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных. В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Слайд 5


Численное интегрирование Задача численного интегрирования – нахождение приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям. Общий подход к решению задачи: Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными а и b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество мелких интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.
Описание слайда:
Численное интегрирование Задача численного интегрирования – нахождение приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям. Общий подход к решению задачи: Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными а и b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество мелких интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

Слайд 6


В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.). В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).
Описание слайда:
В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.). В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).

Слайд 7


Метод прямоугольников Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой: i[xi -1,xi].
Описание слайда:
Метод прямоугольников Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой: i[xi -1,xi].

Слайд 8


Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим хi = h - шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек i выбираются левые (i=хi-1) или правые (i=хi) границы элементарных отрезков.
Описание слайда:
Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим хi = h - шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек i выбираются левые (i=хi-1) или правые (i=хi) границы элементарных отрезков.

Слайд 9


Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №9
Описание слайда:

Слайд 10


Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований. Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований.
Описание слайда:
Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований. Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований.

Слайд 11


Получим формулу: Получим формулу: где или
Описание слайда:
Получим формулу: Получим формулу: где или

Слайд 12


Метод трапеций Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у =f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (хi, уi).
Описание слайда:
Метод трапеций Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у =f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (хi, уi).

Слайд 13


Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле i=1,2,...,n , где n – число интервалов разбиения Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования: или
Описание слайда:
Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле i=1,2,...,n , где n – число интервалов разбиения Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования: или

Слайд 14


Данные формулы можно представить в виде: Данные формулы можно представить в виде:
Описание слайда:
Данные формулы можно представить в виде: Данные формулы можно представить в виде:

Слайд 15


Метод парабол. Формула Симпсона Метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a ,b] по трем равноотстоящим узлам. Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h. Примем: x0=a, x1=x0 + h, ... , xn=x0 + nh=b. Значения функций в точках обозначим соответственно: y0=f(a); y1=f(x1); y2=f(x2); ... ; yn=f(b).
Описание слайда:
Метод парабол. Формула Симпсона Метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a ,b] по трем равноотстоящим узлам. Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h. Примем: x0=a, x1=x0 + h, ... , xn=x0 + nh=b. Значения функций в точках обозначим соответственно: y0=f(a); y1=f(x1); y2=f(x2); ... ; yn=f(b).

Слайд 16


Метод парабол На каждом отрезке [x0,x2], [x2,x4], ..., [xi-1,xi+1] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени. где В качестве Рi(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат: y0, y1, y2 ; y2, y3, y4 ; y4, y5, y6; .... ; yn-2, yn-1, yn.
Описание слайда:
Метод парабол На каждом отрезке [x0,x2], [x2,x4], ..., [xi-1,xi+1] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени. где В качестве Рi(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат: y0, y1, y2 ; y2, y3, y4 ; y4, y5, y6; .... ; yn-2, yn-1, yn.

Слайд 17


Формула Лагранжа для интервала [xi-1, xi+1]
Описание слайда:
Формула Лагранжа для интервала [xi-1, xi+1]

Слайд 18


Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №18
Описание слайда:

Слайд 19


Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что xi – xi-1=xi+1 – xi=h, получим для каждого элементарного участка: После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона: Упрощенная формула Симпсона:
Описание слайда:
Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что xi – xi-1=xi+1 – xi=h, получим для каждого элементарного участка: После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона: Упрощенная формула Симпсона:

Слайд 20


Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Принимаем количество молей n=1, значение теплоемкости при v=const: Cv=35,0 Дж/мольК . Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h=(500 – 400) /10 =10. Результаты вычислений в таблице
Описание слайда:
Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Принимаем количество молей n=1, значение теплоемкости при v=const: Cv=35,0 Дж/мольК . Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h=(500 – 400) /10 =10. Результаты вычислений в таблице

Слайд 21


Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №21
Описание слайда:

Слайд 22


Вычислим интеграл, используя данные таблицы: Вычислим интеграл, используя данные таблицы: по формуле трапеций: по формуле Симпсона: по формуле прямоугольников:
Описание слайда:
Вычислим интеграл, используя данные таблицы: Вычислим интеграл, используя данные таблицы: по формуле трапеций: по формуле Симпсона: по формуле прямоугольников:

Слайд 23


Найдем точное значение интеграла: Найдем точное значение интеграла: Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.  
Описание слайда:
Найдем точное значение интеграла: Найдем точное значение интеграла: Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.  

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию