Приближенные методы решения определенных интегралов - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №1

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №2

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №3

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №4

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №5

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №6

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №7

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №8

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №9

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №10

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №11

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №12

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №13

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №14

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №15

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №16

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №17

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №18

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №19

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №20

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №21

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №22

Приближенные методы решения определенных интегралов, слайд №23

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Приближенные методы решения определенных интегралов. Доклад-сообщение содержит 23 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Приближенные методы решения определенных интегралов

Слайд 2

Описание слайда:

Численное интегрирование Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса. Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Слайд 3

Описание слайда:

Постановка задачи Вычислить определенный интеграл при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Слайд 4

Описание слайда:

Недостатки формулы Ньютона-Лейбница первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях; функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных. В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Слайд 5

Описание слайда:

Численное интегрирование Задача численного интегрирования – нахождение приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям. Общий подход к решению задачи: Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными а и b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество мелких интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

Слайд 6

Описание слайда:

В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.). В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).

Слайд 7

Описание слайда:

Метод прямоугольников Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой: i[xi -1,xi].

Слайд 8

Описание слайда:

Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим хi = h - шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек i выбираются левые (i=хi-1) или правые (i=хi) границы элементарных отрезков.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований. Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований.

Слайд 11

Описание слайда:

Получим формулу: Получим формулу: где или

Слайд 12

Описание слайда:

Метод трапеций Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у =f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (хi, уi).

Слайд 13

Описание слайда:

Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле i=1,2,...,n , где n – число интервалов разбиения Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования: или

Слайд 14

Описание слайда:

Данные формулы можно представить в виде: Данные формулы можно представить в виде:

Слайд 15

Описание слайда:

Метод парабол. Формула Симпсона Метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a ,b] по трем равноотстоящим узлам. Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h. Примем: x0=a, x1=x0 + h, ... , xn=x0 + nh=b. Значения функций в точках обозначим соответственно: y0=f(a); y1=f(x1); y2=f(x2); ... ; yn=f(b).

Слайд 16

Описание слайда:

Метод парабол На каждом отрезке [x0,x2], [x2,x4], ..., [xi-1,xi+1] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени. где В качестве Рi(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат: y0, y1, y2 ; y2, y3, y4 ; y4, y5, y6; .... ; yn-2, yn-1, yn.

Слайд 17

Описание слайда:

Формула Лагранжа для интервала [xi-1, xi+1]

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что xi – xi-1=xi+1 – xi=h, получим для каждого элементарного участка: После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона: Упрощенная формула Симпсона:

Слайд 20

Описание слайда:

Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Принимаем количество молей n=1, значение теплоемкости при v=const: Cv=35,0 Дж/мольК . Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h=(500 – 400) /10 =10. Результаты вычислений в таблице

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Вычислим интеграл, используя данные таблицы: Вычислим интеграл, используя данные таблицы: по формуле трапеций: по формуле Симпсона: по формуле прямоугольников:

Слайд 23

Описание слайда:

Найдем точное значение интеграла: Найдем точное значение интеграла: Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.