Применение производной к исследованию функции и построению графика функции

Нажмите для полного просмотра!

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №2

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №3

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №4

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №5

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №6

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №7

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №8

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №9

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №10

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №11

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №12

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №13

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №14

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №15

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №16

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №17

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №18

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №19

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №20

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №21

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №22

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №23

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №24

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №25

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №26

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №27

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №28

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №29

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №30

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №31

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №32

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №33

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №34

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №35

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №36

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №37

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №38

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №39

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №40

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №41

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №42

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №43

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №44

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №45

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №46

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №47

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №48

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №49

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №50

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №51

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №52

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №53

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №54

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №55

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №56

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №57

Применение производной к исследованию функции и построению графика функции, слайд №58

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Применение производной к исследованию функции и построению графика функции. Доклад-сообщение содержит 58 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Содержание Определение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность) Нахождение точек экстремума функции Построение графиков функций Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции Работа с графиками функций Проверь себя

Слайд 3

Описание слайда:

Исследование функции на монотонность (т.е. определение промежутков возрастания и убывания функции).

Слайд 4

Описание слайда:

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения функция возрастает, а на каких – убывает.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Возрастание и убывание функции можно изобразить так

Слайд 7

Описание слайда:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и производную .

Слайд 8

Описание слайда:

Слайд 9

Описание слайда:

Алгоритм исследования функции на монотонность Найти производную функции f ΄(х) Найти стационарные (f ΄(х) = 0) и критические (f ΄(х) не существует) точки функции у= f(х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках По знаку производной определить промежутки монотонности функции (если f ΄(х) > 0 – функция возрастает; если f ΄(х) < 0 функция убывает; если f ΄(х) =0 – функция постоянна)

Слайд 10

Описание слайда:

Определения Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Нахождение точек экстремума функции

Слайд 14

Описание слайда:

Определения Точка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≥ f(хо) Точка хо называется точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≤ f(хо)

Слайд 15

Описание слайда:

Определения Значение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке вокруг точки максимума, а не на всей области определения функции – это унаиб. ) Значение функции в точке минимума обозначают уmin (но это не унаим. функции на всей области определения) Точки минимума и максимума называются точками экстремума

Слайд 16

Описание слайда:

Теорема Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0. Тогда: а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х0, то х0 – точка минимума функции у = f(х)

Слайд 17

Описание слайда:

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0, а при х>х0 - неравенство f΄(х)

Слайд 18

Описание слайда:

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба)

Слайд 19

Описание слайда:

Алгоритм нахождения точек экстремума функции Найти производную функции f ΄(х) Найти стационарные и критические точки функции у = f(х) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой Определить знаки производной на получившихся промежутках Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′(Х0) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).

Слайд 20

Описание слайда:

Например: найти точки экстремума функции Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х² + 48х = = 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)² 2) у΄=0 при х =0 и х =2 (стационарные точки) 3) 4) 5) Значит: х = 0 – точка минимума, х = 2 - точка максимума.

Слайд 21

Описание слайда:

Найдите точки экстремума функции и определите их характер у = 7 + 12х - х² у = 3х³ + 2х² - 7 у = -2х³ + 21х² + 19 у = 3х² - х³ у = х + 4/х

Слайд 22

Описание слайда:

Построение графиков функций

Слайд 23

Описание слайда:

В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции или когда заранее трудно представить вид графика, используют следующий алгоритм:

Слайд 24

Описание слайда:

План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно Найти стационарные и критические точки Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)

Слайд 25

Описание слайда:

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно находить с помощью производной. Теорема. (признак вогнутости и выпуклости) Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Слайд 26

Описание слайда:

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм: Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х) Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0 Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если f ΄΄(х)>0 - вогнута

Слайд 27

Описание слайда:

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части. Точкой перегиба кривой графика функции будут те точки, в которых f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак.

Слайд 28

Описание слайда:

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции Решение. Найдем у΄(х) и у΄΄(х): у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1) Найдём стационарные точки второго порядка, т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1 х = ±1 Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1

Слайд 29

Описание слайда:

Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не определена Найдем стационарные точки: т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки Найдем точки экстремума: т.к. и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума

Слайд 30

Описание слайда:

Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает при x ϵ [-1; 0] - функция убывает Найдем точки пересечения графика с осями координат: если х=0, то у=-1 => (0;-1) если у=0, то х= -1 => (-1; 0)

Слайд 31

Описание слайда:

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0) -точка локального максимума т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1 => (0;-1) -точка локального минимума если х=1, то у=4 => (1;4) если х=-2, то у=-5 => (-2;-5) Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы.

Слайд 32

Описание слайда:

Составим таблицу: Найдем f ΄΄(х). f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1) f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5 - точка перегиба т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) 0 Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно

Слайд 33

Описание слайда:

Построим график функции:

Слайд 34

Описание слайда:

Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х² - х³ 2) у = - 9х + х³ 3) у = х³ - 3х² + 2 4) у = - х³ + 6х² - 5 5) у = 3х³ + х² - 8х – 7 6) у = (х)/(1+х²)

Слайд 35

Описание слайда:

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Слайд 36

Описание слайда:

Теорема Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b). Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение

Слайд 37

Описание слайда:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;в] 1) Найти производную f ΄(х) 2) Найти стационарные и критические точки функции и проверить принадлежат ли они отрезку [а;в] 3) Вычислить значение функции у=f(х) на концах отрезка, т.е в точках х=а и х=в в стационарных и критических точках, принадлежащих [а;в] 4) Выбрать среди найденных значений наименьшее (это и будет Унаим.) и наибольшее (это и будет Унаиб.)

Слайд 38

Описание слайда:

Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на отрезках а)[-4;6] б) [-2;2] а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45 2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3 х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6] 3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5): Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82; у(5)=-174. Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82.

Слайд 39

Описание слайда:

Решение. б) на [-2;2] 1) у΄= 3х² - 6х – 45 2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3 х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ¢ [-2;2] х2= 5 ¢ [-2;2] 3) Найдём у(-2); у(2): Получили у(-2)= 71; у(2)=-93 Значит: Унаим = - 93; Унаиб = 71.

Слайд 40

Описание слайда:

Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на отрезке [0;6] Ответ: Унаим. = -174 (достигается в точке х=5) Унаиб. = 1 (достигается в точке х=0)

Слайд 41

Описание слайда:

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. 1) у = х²-8х+19 на [-1;5] 2) у = х³-9х²+24х-1 на [-2;3] 3) у = х+4/(х+1) на [-2;0] 4) у = х³-2х²+1 на [0,5;+∞) 5) у = 0,2х-х² на (-∞; 1]

Слайд 42

Описание слайда:

Работа с графиками функций

Слайд 43

Описание слайда:

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы

Слайд 44

Описание слайда:

1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х1? 3) Назовите точки экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2)? 5) Укажите промежутки возрастания функции. 6) Отметьте критические точки

Слайд 45

Описание слайда:

Проверим ответы 1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х) ≤ 0. 5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция возрастает. 6. х2

Слайд 46

Описание слайда:

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4, f΄(х)>0 при -1

Слайд 47

Описание слайда:

б) а=0, в=5, f΄(х)

Слайд 48

Описание слайда:

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

Слайд 49

Описание слайда:

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.

Слайд 50

Описание слайда:

№ 5. По графику функции определить: а) сколько точек экстремума имеет функция? б) при каких х принадлежащих [-4;4]функция достигает наименьшего и наибольшего значения?

Слайд 51

Описание слайда:

Ответ

Слайд 52

Описание слайда:

№ 6. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Слайд 53

Описание слайда:

Ответ

Слайд 54

Описание слайда:

Верно или не верно №1 1. График производной. Точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума? 2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка. Верно ли? 3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка. Верно ли?

Слайд 55

Описание слайда:

4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли? 5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли? 6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)

Слайд 56

Описание слайда:

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание

Слайд 57

Описание слайда:

Точка х1 – точка минимума. Точка х1 – точка перегиба. В точках х2 и х4 касательная параллельна оси абсцисс В точке х3 производной не существует. Точка х4 – точка экстремума Точка х4 – точка минимума Точка х4 – стационарная точка Точка х3 – точка экстремума Точка х2 – точка максимума

Слайд 58

Описание слайда:

Используемые ресурсы Учебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина, 2012 Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина, 2012 Л.И. Мартышова «Открытые уроки алгебры и начала анализа» 9-11 классы, - М.,ВАКО, 2012