🗊Презентация Применение производной в заданиях ЕГЭ

Цель: Показать актуальность включения темы “Производная и ее применение” в задания для проведения ЕГЭ по математике.

Задачи: Показать важность знаний исторического и теоретического материала по теме «Производная». Определить процент учащихся, владеющих данным материалом и применяющих его при решении задач различного уровня сложности путем проведения анкетирования. Проанализировать основные способы решения заданий, рекомендованных для ЕГЭ по математике Способствовать развитию познавательной активности учащихся и интереса к изучаемым понятиям при помощи информационных технологий.

План исследования Изучение и отбор литературы. Анализ заданий, рассматриваемых на ЕГЭ по данной теме. Проведение анкетирования среди учащихся 11 классов.Формулировка выводов.

Исторические сведения В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Василий Иванович Висковатов (26 декабря 1779 (6 января 1780), Санкт-Петербург — 8 (20) октября 1812, Санкт-Петербург) — русский математик. Известный специалист в области математического анализа и вариационного исчисления, один из активных последователей С. Г. Гурьева в пропаганде новых передовых научных идей. Выпущен из Артиллерийского и Инженерного Шляхетского Кадетского Корпуса в 1796 года штык-юнкером в корпусные офицеры. С 1803 года признан крупным математиком, избран академиком Петербургской Академии наук. С 1810 года — профессор чистой и прикладной математики в Институте Корпуса инженеров путей сообщения. Впервые употребил русский термин "производная функции". Назад

Теоретический материал по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»

Производные - это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной. Возникает вопрос? Почему производная есть тоже функция? Дело в том, что предел функции мы можем вычислить только в точке, а значение предела есть число f'(x0). Но если менять это число x0, то f'(x0) будет тоже функцией от x0.

Как найти производную? 1. Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций. 2. Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций. 3. Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведения сложной функции и часного сложной функции (производной суперпозиции).

Таблица производных

Производная произведения. Формула Формула производной произведения читается следующим образом: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой функции: u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) Итак рассмотрим пример: Найти производную функции ex·sin(x) Приводим формулы из таблицы производных: (ex)'=ex, (sin(x))'=cos(x). Мы видим, что данная функция – составная. Она составлена из произведения двух функций, поэтому мы должны применить формулу производной произведения. Для этого мы берем первый сомножитель и находим его производную: (ex)' Далее, умножаем эту производную на второй сомножитель (ex)'·sin(x)

Берем второй сомножитель, а точнее - его производную: Берем второй сомножитель, а точнее - его производную: (sin(x))' Умножаем производную второго сомножителя на первый сомножитель ex·(sin(x))' Далее, складываем эти два полученные выражения (ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))' Сравните это выражение с основной формулой u'(x)·v'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Как видим, очень похоже. Тепрерь мы пришли, наконец, к предыдуще задаче, которую уже умеем решать. В самом деле? осталось только подставить подставить вместо (ex)' выражение ex, а вместо (sin(x))' cos(x) и провести преобразования: (ex·sin(x))'=(ex)'·sin(x)+ex·(sin(x))'=ex·sin(x)+ex·cos(x)=ex·(sin(x)+cos(x)) Все, производная найдена, наша задача решена окончательно! назад

Производная частного функций Формула производная частного, формула производной отношения двух функций записывается следующим образом: [u(x)/v(x)]'=[u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)] Итак пример: Найти прозводную функции f(x)=(√x)/x2 Мы прекрасно видим, что данная функция является отношением, частным двух функций. Поэтому мы применяем формулу производной частного. Как и ранее нужно взять производную числителя и умножить ее на производную знаменателя: (√x)'·x2 Берем числитель и умножаем его на производную знаменателя (√x)·(x2)' Берем разность первого полученного выражения и второго и делим эту разность на квадрат знаменателя или умножаем на единицу деленную на квадрат знаменателя: [(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/x2] Сравните это выражение с выражением [u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)]·[1/v2(x)]

Далее, подставляем уже известные выражения производных числителя и знаменателя и упрощаем выражение полученной производной: [(√x)'·x2-(√x)·(x2)']·[1/(x2)2]=[(1/2√x)·x2-(√x)·2x]·[1/(x2)2]=[(1/2x½)·x2-(x½)·2x]·[1/(x2)2]=[½·x(2-½)-2·x2+½]·[1/x4]=[½·x3/2-2·x3/2]·[1/x4]=-[(3/2)·x3/2]·[1/x4]=-(3/2)·x-5/2 Здесь мы воспользовались тем, что корень квадратный есть степень с показателем (1/2), при умножении степеней их показатели складываются, при делении степеней – показатели вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Также при делении разности на некоторый знаменатель каждый член этой разности делится на знаменатель и берется их разность. назад

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ Пример 1. Комментарий. После применения теоремы о производной суммы (Теорема 3) образовалось три производных. Первая производная табличная, вторая сводится к табличной после вынесения константы за знак производной (ТЕОРЕМА 2), третья производная равна нулю, так как дифференцируется константа.

Пример 2. Пример 2. Комментарий. После применения теорема о производной произведения (ТЕОРЕМА 4) возникло две производных. Первая производная сводится к табличным производным в результате применения теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3). Вторая производная является табличной.

Пример 3. Комментарий. После применения теоремы о производной частного (ТЕОРЕМА 5) образовалось две производных. Вторая производная табличная, а первая в результате использования теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3) сводится к табличным производным.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Пример 1. Вычислить производную от функции Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом: Согласно теореме о сложной функции (Теорема 6) имеем Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u её выражение, окончательно получим: Обычно все сказанное записывают в следующей укороченной форме: назад

Теорема 2. Константу можно вынести за знак производной, то есть назад

Теорема 3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: назад

Теорема 4. Производная произведения двух функций равна назад

Теорема 5. Производная частного двух функций равна назад

Теорема 6. Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда назад

Заключение Данная работа показывает: что тема «Производная и ее применение» актуальна и значима в настоящее время. Это следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке. Производную применяют не только в математике, но и в экономике, физике. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса.