🗊Презентация Применение вычислительных методов в теории приближений непрерывных функций

Применение вычислительных методов в теории приближений непрерывных функций линейными положительными операторами и многочленами Бернштейна.

Введение Теория приближений функций играет важную роль в математике и ее приложениях. В прикладных вопросах возникает задача восстановления функции по имеющейся информации об определённых свойствах этой функции. Используя эту информацию, математики приближённо представляют исследуемую величину с помощью некоторых простых для вычислительной работы функций, например, с помощью многочленов. Цель моей работы: обсуждение свойств многочленов Бернштейна и теорем о приближении непрерывных функций многочленами Бернштейна. Я уточнил и дополнил полученные результата полученные результаты, рассматривая задачи, связанные с этим вопросами. Моя дипломная работа состоит из четырех глав. Первая посвящена многочленами Бернштейна и их свойства, вторая – модулю непрерывности, в третьей рассматривается аппроксимация производных, четвертая глава посвящена решению задач.

Многочлены Бернштейна. Многочлены Бернштейна. Пусть - действительная функция, заданная на отрезке [0; 1], – натуральное число, Многочлен Бернштейна функцииопределяют формулой Поскольку каждая из функций является многочленом степени , то также будет многочленами степени . Функции, которые принимает в точках , одинаковые значения, имеют один и тот же многочлен Бернштейна. Поэтому для оценки уклонения данного многочлена от функции на отрезке [0; 1] нужно располагать дополнительной информацией о свойствах функции на этом отрезке. В качестве такого свойства мы будем использовать свойство непрерывности. Полагая, что функция непрерывна на отрезке [0; 1] мы покажем, что при увеличении уклонение многочлена от функции стремится к нулю. Предварительно установим необходимые для дальнейшего свойства многочленов Лемма 1. При любом натуральном и для всякого действительного х справедливы равенства (1): Следствие. Имеет место формула

Теорема Бернштейна. Теорема Бернштейна. Мы называем уклонением многочлена Бернштейна от функции в точке величину. Если при оно стремится к нулю, то говорят, что последовательность сходится к и пишут Уклонением многочлена от функции на отрезке [0; 1] называется величина - так называемое равномерное уклонение. Если , то говорят что последовательность равномерно на отрезке [0; 1] сходится к функции . Этот факт записывают в виде при . Терема 1 (С.Н. Бернштейн). Для любой непрерывной на отрезке [0;1] функции последовательность равномерно на этом отрезке сходится к функции .

§ 4. Теорема Вейерштрасса. § 4. Теорема Вейерштрасса. Теорема 2 (К. Вейерштрасс). Для всякой непрерывной на отрезке функции найдется такая последовательность алгебраических многочленов, которая равномерно на данном отрезке сходится к этой функции. Для отрезка [0; 1] утверждение теоремы следует из теоремы Бернштейна, так как в качестве последовательности многочленов можно взять последовательность .

Модуль непрерывности. Модуль непрерывности. Пусть функция определена на отрезке . Модулем непрерывности функции называется функция , заданная формулой Из этого определения следует, что и при любых и из отрезка выполняется равенство . Свойства модуля непрерывности. 1) Для любой непрерывной на отрезке функции выполняется условие 2)Если , то ; ; 4)Если функция непрерывна на отрезке , то ее модуль непрерывности будет непрерывной функцией на отрезке . 5)При любом натуральном и имеет место неравенство ; 6)Для произвольного положительного числа , при котором и будет 7)Если и , то при любом справедливо неравенство .

Аппроксимация производных. Аппроксимация производных. Теперь мы обратимся к изучению производных от многочленов Бернштейна. Продифференцируем равенство тогда мы получим формулу Здесь Теорема. Если функция имеет на отрезке непрерывную производную , то последовательность равномерно на этом отрезке сходится к . Следствие. Для любой функции , имеющей на отрезке непрерывную производную существует такая последовательность алгебраических многочленов , что при равномерно на выполняются соотношения: и .

Примеры. Примеры. Пример 1. Составить многочлен Бернштейна четвертой степени для функции , и найти уклонение от в точках , и . Решение: