🗊Презентация Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. (Семинар 26)

Семинар 26 Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

Признак Даламбера Признак Даламбера Рассмотрим ряд (*) Если при существует предел отношения последующего элемента к предыдущему, то есть , то при - ряд сходится; - ряд расходится; - признак Даламбера не действует. Радикальный признак Коши. Рассмотрим ряд (*) Если при существует , то при - ряд сходится; - ряд расходится; - радикальный признак Коши не действует. Интегральный признак Коши Не трудно заметить полную аналогию определений сходимости ряда и сходимости несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. Много общего и в признаках сходимости рядов с положительными элементами и интегралов с положительной подынтегральной функцией.

Рассмотрим признак, позволяющий в некоторых случаях сводить вопрос о Рассмотрим признак, позволяющий в некоторых случаях сводить вопрос о сходимости ряда, к вопросу о сходимости интеграла. Рассмотрим ряд (*), элементы которого являются з начениями непрерывной положительной функции f(x) при целых значениях аргумента х: и пусть f(x) монотонно убывает в интервале Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится, если этот интеграл расходится. Ряды с произвольными элементами. Абсолютная сходимость Знакочередующиеся ряды Знакочередующийся ряд можно записать в таком виде: (*), где - положительные числа. Достаточный признак сходимости – признак Лейбница Если в знакочередующемся ряду абсолютные величины элементов ряда убывают, то есть в ряде (*) и общий элемент , то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше ;

остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых элементов . остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых элементов . Абсолютная сходимость Для рядов с произвольным распределением знаков существует следующий достаточный признак сходимости Если ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.  Примеры с решениями 1. Исследовать сходимость рядов 1) Решение. Применим признак Даламбера; имеем тогда 2) Решение. Применим признак Даламбера; имеем тогда

3) 3) Решение. Применим радикальный признак Коши; имеем тогда 4) Решение. Применим радикальный признак Коши; имеем , тогда 5) Решение. Применим интегральный признак Коши. - интеграл расходится, поэтому и ряд расходится

6. 6. Решение. Общий элемент ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится 7. Решение. Составим ряд из абсолютных величин: Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно. Примеры для самостоятельного решения: 1. Исследовать сходимость рядов 1. 2. 3. 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакопеременного ряда: 1. 2. 3. Вычислить сумму ряда с указанной точностью 1. 2. ,