🗊Презентация Проект по теме «Теорема синусов»

Проект по теме «Теорема Синусов» Ученика 9 «Б» Самошкина Артёма

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; 

Обычная теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство  Пусть в треугольнике ABC, сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b. 

Попытаемся доказать, что a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Воспользуемся теоремой о площади треугольника, и запишем её для каждой пары сторон и соответствующего им угла: S = (1/2)*a*b*sin(C), S = (1/2)*b*c*sin(A), S = (1/2)*c*a*sin(B). Так как левые части у первых двух равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Сократим это равенство на ½*b, получим: a*sin(C) = c*sin(A). По свойству пропорции получаем:  a/sin(A) = c/sin(C). Так как левые части у второго и третьего равенств одинаковые, то правые части можно приравнять между собой. Получим (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Сократим это равенство на 1/2*c, получим:  b*sin(A) = a*sin(B). По свойству пропорции получаем: a/sin(A) = b/sin(B). Объединив полученные два результата получаем: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Что и требовалось доказать.

Расширенная теорема синусов: Для произвольного треугольника a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. где  a,b,c—стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы,  — радиус окружности, описанной около треугольника.

Спасибо за внимание!