🗊Презентация Производная и её приложение

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЕ

История дифференциальных исчислений О происхождении терминов и обозначений. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функ­ций называется дифференциальным исчислением. Приращения вида , представляющие собой разности , играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia ( разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей. Термин производная ввел Лагранж в 1797 году. Производная определяется во всех руководствах именно как предел. Пишут f (хо) = lim вместо принятого выше обозначения Обозначение lim - сокращение латинского слова limes ( межа, граница); уменьшая, например, , мы устремляем значения к «границе» Г (хо). Термин предел ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может служить функция от , поскольку —>0. Вообще, если lim (х) =0, говорят, что - бесконечно малая. Бесконечно ма­лые играют важную роль в математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых. Заметим наконец, что слово « экстремум»№ происходит от латинского extremum ( крайний). Махimum переводится как наибольший, а minimum- наименьший.

Из истории дифференциального исчисления. Из истории дифференциального исчисления. 1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи-здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обес­печивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. К рассмотрению касательной и нормали( так называется прямая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С по­мощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффи­циентов он сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулиро­вал две основные проблемы анализа: 1. Длина проходимого пути постоянно (т.е. в любой момент времени ) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время. 2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути. Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления. Вторая относится к интегральному исчислению А. Лопиталь, который учился у Бернулли, издал уже 1696 году первый печатный курс исчисле­ния «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распро­странению новых методов. С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько несправедливо название формула Тейлора ( Б. Тейлор (1685-1731)- англий­ский математик, опубликовавший ее в 1715 году.), принятое для следующего замечательного со­отношения: ( здесь (х)- значение полученное n-кратным дифференцированием функции f в точке х0, а n!=1 2...п.

Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых понятий, как пре­дел, непрерывность , действительное число , отсутствовали( соответственно и рассуждения со­держали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны. Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых понятий, как пре­дел, непрерывность , действительное число , отсутствовали( соответственно и рассуждения со­держали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны. Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого , века французским математиком О. Коши (1789-1857), предположившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821г.) определения предела и непрерывности , целый ряд других замечательных результатов ( в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющий производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а (т.е. lim f(x)=A), если для любого числа 0 , можно подобрать такое число,что f(x)-A для всех х, удовлетворяющих неравенству Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке хо если lim f(x)=f(xo). Число А является пределом последовательности , если для любого существует номер N , та­кой, что при всех n N верно неравенство. Яркие характеристики глубины переворота а математике, происшедшего bXVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции , бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как « Мистический» .

Презентацию готовили: Презентацию готовили: Сахаровский Евгений Николаев Максим Шлюбович Василий Силин Дмитрий Усенко Елена