🗊Презентация Производные элементарных функций. 11 класс

Производные элементарных функций. Урок обобщающего повторения 11 класс Круглова А.Н., учитель математики ГБОУ СОШ № 186

Цели урока 1. Обобщить и закрепить понятие производной. 2. Повторить понятие предела функции и ее непрерывности, понятие производной. 3. Повторить правила дифференцирования, производные степенной и некоторых элементарных функций. 4. Применить данные знания при дифференцировании. 5. Реализация индивидуального режима работы.

Историческая справка. Термин «функция» впервые был употреблен в 1692 г. немецким математиком Г.Лейбницем. В 1748 г. Л.Эйлер определение функции и ввел символ f(x). В 1834 г. Н.И.Лобачевский дал определение функции на основе идеи соответствия двух числовых множеств. В 1837 г. немецкий математик П.Дирихле сформулировал обобщенное понятие функции: «у является функцией переменной х на отрезке [a,b], если каждому значению х соответствует определенное значение у, причем не важно, каким образом установлено это соответствие – формулой, графиком, таблицей или словесным описанием». Первое определение предела дал английский математик Д.Валлис (1616-1703). Метод пределов получил свое развитие в работах английского ученого И.Ньютона (1643-1727), он же ввел символ lim. Существенный вклад в развитие дифференциального исчисления внесли французские ученые П.Ферма (1601-1665) и Р.Декарт (1596-1650). Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости. Термин «производная» ввел в 1800 г. французский математик Л.Арбогаста (1759-1803). Обозначение производной y’ и f(x)’ ввел французский математик Ж.Лагранж (1736-1813). Существенным приближением теории дифференциального исчисления к ее современному изложению стали работы французского математика О.Коши (1789-1857).

Предел функции. Построить графики функций 1) у = х + 1 2) х² - 1 х – 1 при х 1 у = 3 при х = 1 3) у = (х² - 1) : (х – 1)

Графики функций.

Вывод Общее свойство функций при значениях х, близких к 1 ? Значения каждой из функций мало отличается от 2. Следовательно, каждая из этих функций имеет в точке х = 1 предел, равный 2. Как это записать ? Однако для первой функции lim y(x) = y(1) = 2 Для второй функции lim y(x) ≠ y(1) , для третьей функции у(1) не существует. Первую функцию называют непрерывной, а вторую и третью функции – разрывными в точке х = 1.

Определение производной Производной функции f(x) в точке х0 называется предел разностного отношения f(x0 + h) – f(x0) h при h→0 : ƒ‘(x0) = lim Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная степенной и некоторых элементарных функций. (Найти в правой части продолжение формул) ( хⁿ )' = 1 2 3 4 5 6 ( )‘ = 1 2 3 4 5 6 3. ( ln x )’ = 1 2 3 4 5 6 4. ( sin x )‘ = 1 2 3 4 5 6 ( cos x )’ = 1 2 3 4 5 6 Продолжим

Решить примеры 1) (x³)’ = 2) (2x)’ = 3) ( )’ = 4) (lnx)’ = 5) (-4 lnx)’ = 6) (3 )’ = 7) (5 cosx)’ = 8) (0.3 sinx)’ =

Правила дифференцирования. Производная суммы ( f(x) + g(x) )’ = = f’(x) – g’(x) = f’(x) + g’(x) = f’(x) * g’(x) Постоянный множитель (cf(x))’ = = c + f’(x) = f’(x) – c = cf’(x) Производная произведения (f(x)·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) = f’(x)·g’(x) = f’(x)·g(x) Производная частного (f(x)/g(x))’ = f’(x)/g’(x) = (f’(x)·g(x) - f(x)·g’(x)) / g²(x) = f’(x)·g(x) – f(x)·g’(x) Продолжим урок.

Выполним самостоятельные работы 1. Техника дифференцирования 2. Производная сложной функции (f(g(x)))’ = f’(g(x))·g’(x) (f(kx+b))’ = k·f’(kx+b) 3. Решение уравнений и неравенств