🗊Презентация Производные высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков. (Семинар 10)

Семинар 10. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной. Обозначение f”(x)=[f’(x)]’ Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка или третьей производной Обозначение f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее. -производная n порядка. Пример Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями (1),где - дифференцируемые функции и Причем на отрезке функция имеет обратную функцию Для первой производной имеет место формула (2)

Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х. Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х. или (3) Формула Лейбница На производные высших порядков распространяются общие правила дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то Формула Лейбница, дающая возможность вычислить производную n – го порядка от произведения двух функций, то есть следующая -формула Лейбница.

Примеры с решениями Примеры с решениями 1.Найти для функции Решение. Имеем: 2.Найти для функции y=lnx Решение. Имеем: 3.Найти для функции

Решение. Имеем: Решение. Имеем: 4. Найти для функции y=sinx Решение. Имеем: 5. Найти , если Решение. Имеем

Замечание. При решении можно также применять формулу (3) для нахождения второй производной функции, заданной параметрическими уравнениями. Замечание. При решении можно также применять формулу (3) для нахождения второй производной функции, заданной параметрическими уравнениями. 6. Применяя формулу Лейбница найти для функции Решение. Примеры для самостоятельного решения. 1.Найти производные второго порядка: 2.Найти производные третьего порядка 3.Найти производные n-го порядка