🗊Презентация Проверка однородности генеральных дисперсий

Проверка однородности генеральных дисперсий Лекция №6 для студентов 2 курса, обучающихся по специальности 060609 – Медицинская кибернетика доц. Шапиро Л.А. Красноярск, 2015 г.

План лекции: Актуальность темы. Сравнение двух генеральных дисперсий по независимым выборкам из нормальных совокупностей. Сравнение нескольких генеральных дисперсий. Критерии Кочрена. Сравнение нескольких генеральных дисперсий. Критерий Бартлетта , Левене. Заключение

Актуальность темы На практике задача сравнений дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений и т.д. Лучше тот прибор, инструмент, метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Сравнение двух генеральных дисперсий по независимым выборкам из нормальных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора. Пусть есть две независимые выборки значений нормально распределенной величины X: х1, х2, ... , xn - всего n элементов, и нормально распределенной величины Y: y1, y2, ... , ym - m элементов. Для этих выборок найдены исправленные выборочные дисперсии s2x и s2y. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, что генеральные дисперсии совокупностей X и Y равны между собой: Н0: D[X] = D[Y] Гипотеза проверяется по критерию Фишера:

При Fнабл>Fкр нулевая гипотеза отвергается, генеральные дисперсии различаются При Fнабл>Fкр нулевая гипотеза отвергается, генеральные дисперсии различаются При Fнабл<Fкр нулевая гипотеза принимается, генеральные дисперсии равны Пример: По двум независимым выборкам n1=12 и n2=15 из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии s2x=11,41 и s2y=6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0: D[X] = D[Y] о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1: D[X] > D[Y]. Решение: Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: Fнабл=11,41/6,52=1,75

k1=12-1=11, k2=15-1=14 k1=12-1=11, k2=15-1=14 Fкр(0,05, 11, 14)=2,56 Так как Fнабл<Fкр (1,75<2,56) нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. 2. Двусторонняя критическая область. Н0: D[X] = D[Y] Н1: D[X]  D[Y] Строим двустороннюю критическую область так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы равна . Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов равна /2.

P (F<F1) = /2 P (F>F2) = /2 P (F<F1) = /2 P (F>F2) = /2 т.е. область принятия гипотезы будет F1<F<F2 . Правую точку F2 находим по таблице. Левой точки таблица не содержит. Однако достаточно найти правую критическую точку F2 при уровне значимости вдвое меньше заданного (/2). Вероятность попадания критерия в «левую часть» тоже равна /2. Так как эти события несовместны, то вероятность попадания критерия во всю двустороннюю область будет равна /2+ /2= 

Пример:По двум независимым выборкам n1=10 и n2=18 из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии s2x=1,23 и s2y=0,41. Пример:По двум независимым выборкам n1=10 и n2=18 из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии s2x=1,23 и s2y=0,41. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу Н0: D[X] = D[Y] о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1: D[X]  D[Y]. Решение: Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: Fнабл=1,23/0,41=3

k1=10-1=9, k2=18-1=17 k1=10-1=9, k2=18-1=17 Fкр(0,05, 9, 17)=2,5 Так как Fнабл>Fкр (3>2,5) нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий отвергается.

Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. Генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но можно предполагать теоретически или из предыдущего опыта, что она равна 02. Имеется выборка с исправленной дисперсией S2 с k=n-1 степенями свободы. Требуется проверить нулевую гипотезу, что при заданном уровне значимости генеральная дисперсия равна гипотетическому значению 02. Т.к. S2 –несмещенная оценка генеральной дисперсии нулевую гипотезу можно записать в виде: Н0: M(S2) = 02, т.е. требуется установить значимо или нет различаются выборочная и генеральная дисперсия.

Критерий принятия гипотезы:

Пример: По выборке n=13 из нормально распределенной генеральной совокупности найдена исправленная выборочная дисперсии s2=14,6. Пример: По выборке n=13 из нормально распределенной генеральной совокупности найдена исправленная выборочная дисперсии s2=14,6. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: 2 = 02=12 Н1: 2 > 12. Решение: 2кр(0,01, 12)=26,2 2набл< 2кр (14,6 < 26,2) нулевая гипотеза не отвергается- различие между выборочной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12)-незначимо.

При уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: 2 = 02 Н1: 2  02. При уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: 2 = 02 Н1: 2  02. Решение: Находим двустороннюю критическую область: P [2< 2левкр(/2, k)] = /2, k=n-1 P [2> 2 правкр(/2, k)] = /2, В таблице есть только правосторонние критические точки. т.к. события 2< 2левкр и 2> 2 левкр противоположны сумма их вероятностей равна 1: P (2< 2левкр)+ P (2 > 2левкр)=1 P (2 > 2левкр)=1- P (2< 2левкр) Следовательно, по таблице находим 2 правкр (/2, k)] и 2левкр(1-/2, k) Если 2левкр < 2 < 2 правкр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Если 2набл< 2левкр или 2набл> 2 правкр нулевая гипотеза отвергается

При уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: 2 = 02 Н1: 2 < 02. При уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н0: 2 = 02 Н1: 2 < 02. Левосторонняя критическая область. по таблице находим 2кр(1-, k) Если 2набл > 2кр(1-, k) нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Если 2набл < 2кр(1-, k) нулевая гипотеза отвергается 2левкр(0,98, 12)=4,18. 4,18 < 10,3 нулевая гипотеза отвергается.

Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборкам равного объема из нормальных совокупностей, критерий Кочрена. Пусть генеральные совокупности X1, X2,..., Xl распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены l независимых выборок одинакового объема n и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии s21 , s22, … s2l c числом степеней свободы k=n- l. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, что генеральные дисперсии совокупностей равны между собой: Н0: D(X1) = D(X2) =… = D(X l )

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена - отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий: В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена - отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий: G=S2max/(S21+ S22+…+ S2l) Распределение этой СВ зависит только от числа степеней свободы k и числа выборок l. правосторонняя область P [G> Gкр(, k, l)] = , k=n-l Если G набл < Gкр(, k, l) нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Если G набл > Gкр(, k, l) нулевая гипотеза отвергается

Пример: По четырем независимым выборкам n=17 из нормально распределенной генеральной совокупности найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,26, 0,36, 0,40, 0,42. Пример: По четырем независимым выборкам n=17 из нормально распределенной генеральной совокупности найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,26, 0,36, 0,40, 0,42. а) При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дисперсий б) Оценить генеральную дисперсию Решение: Gнабл=0,42/(0,26+ 0,36+0,40+0,42)=0,2917 Gкрправ(0,05, 16, 4)=0,4366 0,2917 < 0,4366 нулевая гипотеза не отвергается - исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

б)т.к. нулевая гипотеза принимается, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднее арифметическое исправленных дисперсий: 2 = (0,26+ 0,36+0,40+0,42)/4=0,36

Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборкам различного объема из нормальных совокупностей, критерий Бартлетта. Пусть генеральные совокупности X1, X2,..., Xl распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены l независимых выборок различного объема n1, n2, … nl и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии s21 , s22, … s2l. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, что генеральные дисперсии совокупностей равны между собой: Н0: D(X1) = D(X2) =… = D(Xl) (гипотеза об однородности дисперсий)

Число степеней свободы дисперсии s2i : Число степеней свободы дисперсии s2i : ki =ni-1. Обозначим - среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: Критерий Бартлета: B=V/C, где

Бартлетт установил, что при условии справедливости нулевой гипотезы С.В. B распределена приближенно как 2 с l-1 степенями свободы, если все ki>2, т.е. объем каждой выборки не меньше 4. Бартлетт установил, что при условии справедливости нулевой гипотезы С.В. B распределена приближенно как 2 с l-1 степенями свободы, если все ki>2, т.е. объем каждой выборки не меньше 4. Критическую область строят правостороннюю: P [B> 2кр(, l-1)] =  по таблице находим 2кр(, l-1) Если Bнабл < 2кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Если Bнабл > 2кр нулевая гипотеза отвергается

Пример: по четырем независимым выборкам объемом n1=10, n2=12, n3=15, n4=16, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,25, 0,40, 0,36, 0,46. Пример: по четырем независимым выборкам объемом n1=10, n2=12, n3=15, n4=16, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,25, 0,40, 0,36, 0,46. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область-правосторонняя). Решение: lg 0,379=-0,42 V=2,303[49(-0,42)-(-21,066)]=1,02 По таблице находим 2кр(0,05, 4-1)] = 7,8 т.к. V< 2кр C=1,06>1, то Bнабл=V/C < 2кр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, исправленные дисперсии различаются незначимо

Заключение Нами рассмотрены: Критерии проверки однородности дисперсий.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Попов А.М. Теория вероятней и математическая статистика /А.М. Попов, В.Н. Сотников. – М.: ЮРАЙТ, 2011. – 440 с. Герасимов А. Н. Медицинская статистика: учебное пособие / А. Н. Герасимов. – М. : Мед. информ. агентство, 2007. – 480 с. Балдин К. В. Основы теории вероятностей и математической статистики : учебник / К. В. Балдин. – М. : Флинта, 2010. – 488с. Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ