🗊Презентация Проверка статистических гипотез (лекция 8)

Лекция 8 Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза. Критерии, используемые для проверки однородности гидрологических рядов. Критерий Стьюдента. Критерий равенства двух дисперсий. Рангово – суммарный критерий. (Ахметов С.К.)

Определения Статистическая гипотеза – это предположение о каком-то свойстве генеральной совокупности Например, что mx генеральной совокупности равно какому–то числу Нулевая гипотеза – это когда предполагается, что среднее значение выборки x1, x2, x3….xn (если n большое) мало отличаться от mx генеральной совокупности Альтернативная гипотеза Н1 – это когда предполагается, что mx ≠ хср, mx > хср, mx < хср Критерий (тест) статистической гипотезы - это правило, позволяющее принять или отвергнуть гипотезу Статистики – это определенные функции g (x1, x2, x3….xn), используемые для выполнения теста

Пример статистики Рассмотрим выборку с параметрами xср, Sx (СКО) Допустим, что mx = 12. Нулевая гипотеза (Н0). Разница (xср - mx) достаточно мала Эту разницу можно рассматривать в качестве анализируемой статистики Но на практике используют другую статистику t = (xср - mx)/(Sx/√n), так как соответствие с теоремой 2 прошлой лекции заранее известно, что это выражение подчиняется распределению Стьюдента На использовании этой статистики базируется критерий Стьюдента, который можно использовать для проверки нулевой гипотезы С этой целью для конкретной реализации рассчитывают эмпирическое значение статистики Стьюдента t*. Например, n=36, xср =11, Sx = 5, t* = 1.2. Величина t* является СВ и для выборок различной длины значение t* будет различным Область возможных значений (ОВЗ) этой статистики - вся числовая ось ОВЗ делиться на две области: - область принятия гипотезы критическая область Если t* попадает в область принятия гипотезы, то Н0 не опровергается, если в критическую область, то Н0 опровергается.

Доверительная область Доверительная область (доверительный интервал) - область принятия гипотезы Доверительная вероятность (рд) – вероятность получения значения t* по произвольной выборке. Геометрически эта вероятность показана (заштрихована) на рисунке

Уровень значимости Вероятность попадания t* в критическую область равна α = 1 - рд. Здесь α – уровень значимости Если критическая область состоит из двух частей, то вместо α пишут 2α = 1 - рд , где 2α указывает на то, что уровень значимости двухсторонний В гидрологической практике наиболее часто используют уровни значимости 5 и 10% К примеру, если принять уровень значимости 2α = 10% то, используя таблицу распределения Стьюдента при ν = n – 1 = 35, получим теоретическое значение t – статистики равное 1,69. Это означает, что доверительная область представлена отрезком [-1,69, + 1,69] Если t* = - 1,20 (по фактическим данным), значить t* попадает в доверительную область, первоначальная нулевая гипотеза не опровергается, то есть можно считать, что разница между mx и xср является статистически не значимой Хотя в данном случае речь идет о конкретном критерии (Стьюдента), основные принципы проверки нулевой гипотезы сохраняются и при использовании других критериев.

Уровень значимости (α) и доверительная вероятность для различных альтернативных гипотез

Критерии, используемые для проверки однородности гидрологических рядов Используются критерии двух типов: параметрические и непараметрические В параметрических критериях используются выборочные оценки параметров распределения (критерии Стьюдента и Фишера). При этом считается, что выборка относится к генеральной совокупности с известным законом распределения (обычно с нормальным законом) Непараметрические критерии основываются на использовании непараметрических статистик. Статистика g (x1, x2, x3….xn), является непараметрической, если ее распределение не зависит от распределения Х

Критерии Стьюдента для проверки значимости различных средних значений двух выборок Допустим, что (х1, х2, х2 ….хn) и (у1, у2, у ….уn) – выборки длиной m и n с неизвестными параметрами mx, σx и mу, σу, но при этом известно, что σx = σу,, хотя СКО значение неизвестно. Поэтому можно записать, что σ = σx = σу Если выборки относятся к одной генеральной совокупности, то разность должна быть близка к нулю. На основе этой разности строиться статистика t = (xср - уср)/(σxср - уср) где σxср - уср – СКО разности (xср - уср). Как следует из теоремы 2, из предыдущей лекции эта статистика подчиняется распределению Стьюдента при ν = (m + n – 2). В математической статистике доказано, что

Критерии Стьюдента для проверки значимости различных средних значений двух выборок (2) В окончательном виде выражение для статистики t имеет вид

Критерий равенства двух дисперсий Если (х1, х2, х2 ….хn) и (у1, у2, у ….уn) – выборки из нормальной совокупности с параметрами mx, σx, и mу, σу и если σx = σу = σ, то в соответствие с теоремами 1 и 3 из предыдущей лекции, отношение их выборочных дисперсий Sx2/Sy2 подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы ν1 = m-1 и ν2 = n-1 Следовательно, при нулевой гипотезе H0 (т.е. при предположении о том, что Sx2 = Sy2) и при уровне значимости 2α доверительная значимость для отношения Sx2/Sy2 определяется выражением Fα (ν1, ν2,) ≤ (Sx2/Sy2) < F1- α (ν1, ν2) или 1/F1- α ≤ (Sx2/Sy2) < F1- α Распределение Фишера является несимметричным и для того, чтобы сократить объем таблиц, их составляют только для F > 1, а при сравнении Sx2 и Sy2 в числитель всегда подставляют большую дисперсию. В этом случае доверительная область при уровне значимости 2α определяется выражением 1 ≤ (Sx2/Sy2) < F1- α Этот критерий используется для проверки однородности гидрологических рядов по дисперсии.

Расчет по критерию Фишера Исходный ряд делится на две части Оцениваются дисперсии для каждой из частей ряда и вычисляются эмпирическое значение статистики Фишера F* ≤ Sx2/Sy2, где Sx2 > Sy2. Полученное значение F* сравниваются с табличным значением F1- α. Если при принятом уровне значимости оказывается, что F*< F1- α, то расхождение дисперсий считается незначимым и гипотеза об однородности ряда по дисперсии не опровергается Критерий Фишера (также как и критерий Стьюдента) относится к категории стандартных критериев и рекомендуется в большинстве нормативных документов в качестве официального теста на однородность.

Рангово – суммарные критерии Вилкоксона, Вилкоксона - Манна - Уитни Критерии используются для проверки нулевой гипотезы о том, что две независимые выборки принадлежат к совокупностям, которые имеют идентичные функции распределения Критерии Вилкоксона и Манна – Уитни относятся к категории непараметрических критериев и не подразумевают непосредственного расчета выборочных параметров функции распределения Достоинством критериев является то, что они не требуют обязательной принадлежности выборок к нормальной совокупности

Критерий Вилкоксона Статистика Вилкоксона. Пусть даны две выборки из совокупностей X и Y длиной m и n (m и n). Объединим эти выборки в один ряд и расположим все значения в возрастающем порядке так, что у1<у2, у2 <х1, х1<х2 и т.д.

Критерий Вилкоксона Если расчет выполнен правильно, то должно выполняться равенство ω1 + ω2.= N(N+1)/2 где N = m + n В качестве анализируемой статистики ω* рассматривается выборка ω* = r1 + r2 + r3 + + rm где ri - ранг хi   Для статистики Вилкоксона разработаны таблицы, позволяющие определить доверительный интервал для ω (в зависимости от m, n и уровня значимости 2α). Найденное значение ω сравнивается с математическим ожиданием статистики M(W), которое вычисляется по формуле M(W) = (m+n+1)/2 wB(α, n1,n2) > w и wН(α, n1,n2) < w Верхнее критическое значение связано с нижним соотношением wB(α, n1,n2) = 2 M(W) - wН(α, n1,n2) Однако в настоящее время более широкое распространение получила статистика, предложенная Манном и Уитни, так называемая U – статистика.

Статистика Вилкоксона - Манна - Уитни (U – статистика) Для определения U вычислим:   U1 = m•n + m(m + 1)/2 - ω1   U2 = m•n + m(m + 1)/2 - ω2 В качестве анализируемой статистики U* можно использовать любое из полученных значений (U1 и U2). Обычно в качестве U* принимается меньшее значение. При правильном расчете должно выполняться равенство   U1 + U2 = m•n Распределение U – статистики Манна – Уитни является симметричным с МО и дисперсией mU = (m•n)/2  DU = σ2U = m•n(m+n+1)/12

Статистика Вилкоксона - Манна - Уитни (U – статистика) При m ≥ 8 и n ≥ 8 функция распределения нормированной величины статистики U может быть аппроксимирована стандартным нормальным распределением. При этом доверительный интервал для статистики U при уровне значимости 2α имеет вид:   mU – t1- α σU ≤ U < mU + t1- α σU   где t1- α - квантиль стандартного нормального распределения; mU и σU – параметры, определяемые по формулам   mU = (m•n)/2   DU = σ2U = m•n(m+n+1)/12   Критерий Уилкоксона – Манна – Уитни можно использовать для проверки однородности гидрологических рядов. В этом случае исходный ряд разбивается на две выборки, длиной m и n.  

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!