🗊Презентация Проверка статистических гипотез (лекция 9)

Лекция 9 Проверка статистических гипотез Критерии согласия. Критерий χ2 (Пирсона). Критерий Колмогорова. Критерий nω2. Критерии случайности. Критерий серий (Ахметов С.К.)

Критерий согласия Критерии согласия – это статистики, которые позволяют проверить соответствие эмпирической и аналитической кривых распределения Последовательность проверки: - выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы - назначается уровень значимости - вычисляется эмпирическое значение тестовой статистики - по результатам расчетов принимается решение В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о соответствие (согласии) аналитической и эмпирической функций распределения Степень согласия оценивается с помощью специальных статистик В гидрологической практике наиболее часто применяются критерий χ2 (Пирсона), критерий Колмогорова и критерий nω2 (Крамера – Мизеса – Смирнова).

Критерий χ2 (Пирсона) Критерий χ2 был предложен в начале XX Карлом Пирсоном и в настоящее время является наиболее распространенным критерием согласия Последовательность применения: Область допустимых значений (ОДЗ) исследуемой СВ Х разбивается на k интервалов. Число интервалов можно рассчитать по формуле k ≈ 5lg (n) Интервалы по оси Х не будут равновеликими, но зато вероятность попадания значения СВ Х в любой интервал будет одинаковой p = 1/k Теоретическое число случаев попадания значения СВ Х в каждый интервал будет равно m = n/k (n – длина выборки) Расхождение между эмпирическими данными и аналитической функцией распределения определяется по тестовой статистике

Критерий χ2 (Пирсона) - продолжение Закон распределения данной статистики не зависит от вида исходного распределения и при достаточно большом n хорошо аппроксимируется распределением χ2 – квадрат с числом степеней свободы (v = k – r – 1); где r – число параметров исходного распределения, определяемых по эмпирическим данным Учитывая, что p*= m*/n можно записать, что

Критерий χ2 (Пирсона) - продолжение

Критерий Колмогорова Мерой отличия эмпирической кривой распределения от теоретической является абсолютное по величине расхождение между эмпирической Р*(х) и аналитической Р(х) функциями обеспеченностей ∆ = max [Р*(х) - Р(х)] Последовательность вычисления 1. Для каждого значения СВ Х вычисляются Р*(х), Р(х) и их разности 2. Выбирается наибольшее по модулю разность ∆ 3. Рассчитывается статистика λ* = ∆√n, где n – объем выборки. 4. Функция обеспеченностей статистики λ при достаточно больших значениях n (n>40) может аппроксимирована выражением

Критерий Колмогорова Недостатки методики: Учитывается только максимальное расхождение между эмпирической и аналитической функциями распределения Наибольшая разность ∆ обычно отмечается в средней части кривой распределения, в то время как в гидрологической практике чаще всего важно знать ее крайние левые и правые части Критерий не учитывает числа параметров, входящих в теоретическую функцию распределения

Критерий nω2 (Крамера – Мизеса – Смирнова) Тестовой статистикой данного критерия является средний квадрат отклонений между аналитической Р(х) и эмпирической Р*(х) функциями обеспеченностей по всем значениям случайной величины Х

Критерий nω2 (Крамера – Мизеса – Смирнова) - 2

Критерии случайности Проверка гидрологических рядов на случайность проводится в рамках общей схемы статистической проверки гипотез. В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о том, что имеющаяся выборка представляет собой последовательность независимых значений СВ Применение критериев случайности основано на сопоставлении конкретных статистик эмпирического ряда с соответствующими теоретическими статистиками случайных совокупностей

Критерий серий Серия – это всякий участок последовательности, состоящий из элементов одного и того же ряда Длина серии – число элементов, входящих в серию К серии из элементов а относятся члены последовательности, значения которых превышают выборочное среднее (или медианное) значение К серии из элементов в относятся члены последовательности, значения которых меньше выборочного среднего (или медианного) значения

Критерий общего числа серий Для проверки гипотезы о том, что данная совокупность сформирована из независимых значений СВ, используется статистика R, представляющая собой сумму серий из элементов a, ra и в rв (длина серий i при этом значения не имеет). Пример расчета ra и rв ясен из рисунка на след. слайде Для случайных совокупностей статистика R = ra + rв имеет нормальное распределение с параметрами

Пример расчета методом серий

Критерий наибольшей длины серий Этот критерий использует в качестве тестовой статистики наибольшую длину серии из элементов a и в: K = imax. Теоретически доказано, что для СВ значение K выражается формулой

Критерий числа повышений и понижений Пусть имеется выборка СВ Х: х1, х2, х3 ….хn. Переход от xi-1 к xi, называется повышением и обозначается «+», если xi-1 < xi, Переход от xi-1 к xi, называется понижением и обозначается « - «, если xi-1 > xi, Для случайных последовательностей число повышений и понижений распределяется асимптотически нормально с параметрами

Критерий числа экстремумов Экстремум – это элемент последовательности х1, х2, х3 ….хn для которого выполняется одно из неравенств

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!