🗊Презентация Прямая в пространстве. (Лекция 13)

§ 14. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ . Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) . Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:

3. Взаимное расположение прямых в пространстве В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются: 2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые  расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые  а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми? Пусть даны 2 прямые: и – направляющий вектор прямой ℓi , Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2)

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещива- ющимися) прямыми в пространстве. ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещива- ющимися) прямыми в пространстве. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

Пусть дана прямая Пусть дана прямая M1(x1;y1;z1) – точка, не принадлежащая ℓ . ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве. Обозначим: – направляющий вектор прямой ℓ , M0(x0;y0;z0) – точка на прямой ℓ , d – расстояние от точки M1 до ℓ .

Пусть даны две скрещивающиеся прямые: Пусть даны две скрещивающиеся прямые: и – направляющий вектор прямой ℓi , Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2) . ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ1 и ℓ2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Пусть λ: Ax + By + Cz + D = 0 и Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ, – направляющий вектор прямой ℓ .

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то или в координатной форме Am + Bn + Cp = 0 . (11)

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ . Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.