🗊Презентация Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма. Задачи

Автор Колобова Надежда Автор Колобова Надежда ученица 8 класса Чернцкой МСОШ Руководитель Никитина Г. И. учитель математики

Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ Составление тестовой работы по теме

Доказательство: Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2. Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД‌ //‌ ‌‌ВС , значит <2 = <3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ. Значит, < 1 = < 3, тогда ∆ АВМ – Равнобедренный.

Доказательство: Доказательство: Рассмотрим ∆ АОD: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D (по свойству биссектрис) < А + < D = 180˚ (сумма соседних углов). < 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚ Значит, <АОD - прямой .

Доказательство: Доказательство: Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): АВ = ВО. Рассмотрим ∆СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO. Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ.

Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1) Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1)

Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису <А – АК. Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису <А – АК.

Доказательство: Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: < 2 = < 6 (соответственные)→ АК // СМ Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма).

По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник. По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.

ЗАДАЧА № 1 ЗАДАЧА № 1

ЗАДАЧА № 3 ЗАДАЧА № 3

Для определения сторон MN и MQ находим Для определения сторон MN и MQ находим последовательно BQ (из ∆ BCQ по теореме синусов), BM и AM (из ∆ BMA), AN (из ∆ NAD), и, наконец, MN = |AN – AM|, MQ = |BQ – BM| Итак <BAM = α/2, <ABM = ½ <ABC = ½(180˚ - α), <QMN = <AMB = 180˚ - <BAM - <ABM = 180˚ - α/2 – ½(180˚ - α) = 90˚, т.е. MNPQ – прямоугольник. Далее (BC = a, AB = b) BQ = a sin α/2, BM = b sin α/2, MQ = |BQ – BM| = |a – b| sin α/2 и т.д. Ответ получается следующий: S = ½(a - b)² sin α