🗊Презентация Раздел математики, изучающий количество комбинаций - комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Комбинации элементов множества могут быть выполнены путем: 1) перестановок; 2) размещений; 3) сочетаний. Комбинации могут быть без повторений (в основном) и с повторениями (оговаривается отдельно).

Пусть имеется n различных объектов.  Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно: Пусть имеется n различных объектов.  Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно: Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1,1!=1. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Задача 1. К кассе кинотеатра подходит 4 человека. Сколько существует различных вариантов установки их в очередь друг за другом? Задача 2. Найти количество перестановок букв слова оливин.

Пусть имеется n различных объектов.  Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно: Пусть имеется n различных объектов.  Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно: Amn=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)=n!/(n−m)! Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Задача 3. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Уроки в течение дня не повторяются. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Задача 4. Шифр сейфа состоит только из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?

Пусть имеется n различных объектов.  Будем выбирать из них m объектов всеми возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно: Пусть имеется n различных объектов.  Будем выбирать из них m объектов всеми возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно: Cmn=n!/(n−m)!⋅m! Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn = Cmn ⋅ Pm

Задача 5. Сколькими способам можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков? Задача 6. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?

Формулы комбинаторики: Формулы комбинаторики: Перемещения Pn=n! Перемещения с повторениями Pn(m1,m2,…mk)=n!/(m1!m2!...mk!) Размещения Amn=n!/(n-m)! Размещения с повторениями Amn=nm Сочетания Cmn=n!/m!⋅(n-m)! Сочетания с повторениями Cmn+m-1=(n+m-1)!/m!⋅(n−1)!

При решении задач комбинаторики используют следующие правила: При решении задач комбинаторики используют следующие правила: 1) Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами. 2) Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.