🗊Презентация Решение дифференциальных уравнений методом ломаных Эйлера с использованием электронных таблиц MS Excel

Численное решение дифференциальных уравнений модифицированным методом ломаных Эйлера с использованием редактора электронных таблиц MS Excel

Большинство физических, химических, экономических и прочих процессов описываются дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений. Возникает необходимость получения результатов их решения. И не всегда есть возможность получить точный ответ аналитическим способом. Большинство физических, химических, экономических и прочих процессов описываются дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений. Возникает необходимость получения результатов их решения. И не всегда есть возможность получить точный ответ аналитическим способом. Поэтому требуются навыки в решении ДУ с использованием численных методов. Один из таких методов – метод ломаных Эйлера. Рассмотрим решение дифференциального уравнения усовершенствованным методом ломаных Эйлера, который имеет большую точность расчетов.

Создание таблицы Даем название столбцам таблицы в соответствии с алгоритмом для решения ДУ аналитически.

Длина отрезка равна единице, а шаг разбиения – 0,05. Количество узловых точек – 21. Записываем в таблицу. Длина отрезка равна единице, а шаг разбиения – 0,05. Количество узловых точек – 21. Записываем в таблицу.

Значение а соответствующее ему значение Значение а соответствующее ему значение

   

Находим первый аргумент «внешней функции». Находим первый аргумент «внешней функции».

   

   

Ищем значение функции в точке, рассчитанной с учетом погрешности. Ищем значение функции в точке, рассчитанной с учетом погрешности.

Полученный результат умножаем на шаг разбиения. Полученный результат умножаем на шаг разбиения.

   

Копируем полученные значения по образцу. (Выделяем значения полей D, E, F, G, H и «растягиваем» на одну строку вниз) Копируем полученные значения по образцу. (Выделяем значения полей D, E, F, G, H и «растягиваем» на одну строку вниз)

Искомое приближенное решение: Искомое приближенное решение:

   

При решении данного ДУ аналитически результат будет равен ─ 2,71875. При решении данного ДУ аналитически результат будет равен ─ 2,71875. Вывод: усовершенствованный метод ломаных Эйлера дает более точные результаты в отличие от «классического» метода. Связано это с тем, что производная берется не в начале шага, а как промежуточное или среднее на разных участках одного шага. В процессе использования метода вычисляются несколько производных в разных частях шага, которые впоследствии усредняются. За счет этого точность метода возрастает на порядок.

Список литературы Эльсгольц Л.Э. «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление» (61 стр.), 1979г. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1995г. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. «Дифференциальные уравнения» (31 стр.), 1985г.