🗊Презентация Решение простейших тригонометрических уравнений через круг

Решение простейших тригонометрических уравнений через круг Сютьев Евгений 13АС «Колледж«Красносельский» Санкт-Петербург 2016

Введение Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг. Вспомним определения косинуса и синуса. Косинусом  угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α. Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Решим уравнение sinx=1/2 Отметим на оси ординат точку с ординатой ½  Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие  ординату 1/2. Эти точки соответствуют углам поворота на ∏/6 и 5∏/6 радиан: Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на ∏/6 радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на ∏/6+2∏ радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению.То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид: x1=∏/6+2∏k Аналогично, вторая серия решений имеет вид: x2=5∏/6+2∏k, Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на 5∏/6. Эти две серии решений можно объединить в одну запись: х=(-1)n∏/6+∏n,

 давайте решим уравнение cosx=1/2.  давайте решим уравнение cosx=1/2. Так как cosx - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол х, отметим на оси ОХ точку с абсциссой ½  Проведем вертикальную линию параллельно оси ОY до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности  и имеющие  абсциссу 1/2. Эти точки соответствуют углам поворота на ∏/3 и -∏/3 радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота: Запишем две серии решений: x1=∏/3+2∏k,, x2=-∏/3+2∏k, Объедим эти две серии в одну запись: x=+ ∏/3+2∏n, 

Решим уравнение tgx=1. Решим уравнение tgx=1. Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY: Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1): Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам  поворота на ∏/4 и 5∏/4∏/4 Ответ: x=∏/4+∏n

Решим уравнение ctgx=-1 Решим уравнение ctgx=-1 Линия котангенсов проходит через точку с координатами (0,1) единичной окружности параллельно оси ОХ: Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:  Соединим эту точку с началом координат прямой  и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на 3∏/4 и -∏/4 радиан: Поскольку эти точки отстоят друг от  друга на расстояние, равное ∏, то общее решение этого уравнения мы можем записать так: x=3∏/4+∏n,

Вспомогательные материалы http://ege-ok.ru/2012/01/09/reshenie-prosteyshih-trigonometrichesk https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия Учебник по математике 10-11 класс Мордкович А.Г. http://fizmat.by/math/trigonometry