🗊Презентация Решение систем конечных уравнений (СКУ)

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №1Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №2Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №3Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №4Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №5Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №6Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №7Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №8Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №9Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №10Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №11Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №12Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №13Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №14Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №15Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №16Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №17Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №18Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №19Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №20Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №21Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №22Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №23Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №24Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №25Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №26Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №27Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №28Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №29Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №30Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №31Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №32Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №33Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №34Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №35Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №36Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №37Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №38Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №39Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №40Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №41Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №42Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №43Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №44Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №45Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №46Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №47Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №48Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №49Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №50Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №51Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №52Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №53Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №54Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №55Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №56Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №57Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №58Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №59Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №60Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №61Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №62Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №63Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №64Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №65Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №66Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №67Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №68Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №69

Содержание

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Решение систем конечных уравнений (СКУ). Доклад-сообщение содержит 69 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации


Слайд 1





Решение систем конечных уравнений (СКУ)
нахождение таких значений аргументов функций, которые обращают все конечные уравнения системы в тождества.
f1(x1,x2,…xn)=0
f2(x1,x2,…xn)=0
…………………..
fm(x1,x2,…xn)=0
где n – число неизвестных, m – число уравнений, fi(x1,x2,…xn)=0      i=1,…,m – линейные или нелинейные функции неизвестных аргументов, x1,x2,…xn - аргументы функций.
Описание слайда:
Решение систем конечных уравнений (СКУ) нахождение таких значений аргументов функций, которые обращают все конечные уравнения системы в тождества. f1(x1,x2,…xn)=0 f2(x1,x2,…xn)=0 ………………….. fm(x1,x2,…xn)=0 где n – число неизвестных, m – число уравнений, fi(x1,x2,…xn)=0 i=1,…,m – линейные или нелинейные функции неизвестных аргументов, x1,x2,…xn - аргументы функций.

Слайд 2





Если m>n, то система называется переопределённой.
Если m>n, то система называется переопределённой.
Если m<n, то система недоопределена.
При m=n,  такая система называется нормальной системой уравнений. 
СКУ можно разделить на два класса: линейные и нелинейные. СЛАУ содержат алгебраические функции с искомыми аргументами в первой степени во всех уравнениях системы.  
Системы нелинейных уравнений делятся на алгебраические (содержат  только алгебраические функции - многочлены n-ой степени с действительными коэффициентами) и трансцендентные (содержат  тригонометрические, логарифмические и др.функции, не являющиеся многочленами).
Описание слайда:
Если m>n, то система называется переопределённой. Если m>n, то система называется переопределённой. Если m<n, то система недоопределена. При m=n, такая система называется нормальной системой уравнений. СКУ можно разделить на два класса: линейные и нелинейные. СЛАУ содержат алгебраические функции с искомыми аргументами в первой степени во всех уравнениях системы. Системы нелинейных уравнений делятся на алгебраические (содержат только алгебраические функции - многочлены n-ой степени с действительными коэффициентами) и трансцендентные (содержат тригонометрические, логарифмические и др.функции, не являющиеся многочленами).

Слайд 3





Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы, в противном случае она несовместна. 
СЛАУ   Au=f  называется неоднородной, если найдётся хотя бы один свободный член fi ≠ 0, если все fi= 0, i=1,2,…n, то система называется однородной. Очевидно, что однородная система всегда совместна.
Тривиальное (нулевое) решение однородной  СЛАУ  Au=0 располагается в начале n-мерной системы координат:
u*=[0, 0,…,0]T  
Если detA=0, то однородная СЛАУ имеет бесконечное множество решений.
Описание слайда:
Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы, в противном случае она несовместна. СЛАУ Au=f называется неоднородной, если найдётся хотя бы один свободный член fi ≠ 0, если все fi= 0, i=1,2,…n, то система называется однородной. Очевидно, что однородная система всегда совместна. Тривиальное (нулевое) решение однородной СЛАУ Au=0 располагается в начале n-мерной системы координат: u*=[0, 0,…,0]T Если detA=0, то однородная СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Слайд 4


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №4
Описание слайда:

Слайд 5


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №5
Описание слайда:

Слайд 6


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №6
Описание слайда:

Слайд 7





Методы решения СЛАУ делятся на прямые
Методы решения СЛАУ делятся на прямые
     (в предположении отсутствия ошибок округления позволяют получить точные решения за конечное число арифметических действий) и итерационные или методы последовательных приближений (позволяют вычислить последовательность {uk} , сходящуюся к решению задачи при k→∞.  
На практике ограничиваются конечным k в зависимости от требуемой точности. Однако неточность задания правых частей и элементов матрицы коэффициентов А может приводить к значительным погрешностям при вычислении решения СЛАУ.
Описание слайда:
Методы решения СЛАУ делятся на прямые Методы решения СЛАУ делятся на прямые (в предположении отсутствия ошибок округления позволяют получить точные решения за конечное число арифметических действий) и итерационные или методы последовательных приближений (позволяют вычислить последовательность {uk} , сходящуюся к решению задачи при k→∞. На практике ограничиваются конечным k в зависимости от требуемой точности. Однако неточность задания правых частей и элементов матрицы коэффициентов А может приводить к значительным погрешностям при вычислении решения СЛАУ.

Слайд 8


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №8
Описание слайда:

Слайд 9





Рассмотрим СЛАУ вида   Au = f                                               (2.1)
Рассмотрим СЛАУ вида   Au = f                                               (2.1)
Описание слайда:
Рассмотрим СЛАУ вида Au = f (2.1) Рассмотрим СЛАУ вида Au = f (2.1)

Слайд 10





Если использовать наиболее оптимальный способ расчёта определителя, то для решения СЛАУ методом Крамера потребуется примерно              арифметических операций.
Если использовать наиболее оптимальный способ расчёта определителя, то для решения СЛАУ методом Крамера потребуется примерно              арифметических операций.
Для сравнения матриц используются такие их характеристики, как определитель, ранг, матричные нормы. 
Норма вектора и норма матрицы – это некоторые скалярные числовые характеристики, которые ставят в соответствие вектору и матрице.
Нормой вектора u = (u1, u2, …un)T  (обозначают ║u║)   в  n-мерном вещественном пространстве векторов называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью компонент вектора и обладающее следующими свойствами:
а) ║u║ ≥ 0 (║u║=0 тогда и только тогда, когда u – нулевой вектор);
б) ║α ∙ u║ = |α| ∙ ║u║ для любых чисел α (действительных или комплексных);
в) ║u+y║≤ ║u║ + ║y║.
Описание слайда:
Если использовать наиболее оптимальный способ расчёта определителя, то для решения СЛАУ методом Крамера потребуется примерно арифметических операций. Если использовать наиболее оптимальный способ расчёта определителя, то для решения СЛАУ методом Крамера потребуется примерно арифметических операций. Для сравнения матриц используются такие их характеристики, как определитель, ранг, матричные нормы. Норма вектора и норма матрицы – это некоторые скалярные числовые характеристики, которые ставят в соответствие вектору и матрице. Нормой вектора u = (u1, u2, …un)T (обозначают ║u║) в n-мерном вещественном пространстве векторов называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью компонент вектора и обладающее следующими свойствами: а) ║u║ ≥ 0 (║u║=0 тогда и только тогда, когда u – нулевой вектор); б) ║α ∙ u║ = |α| ∙ ║u║ для любых чисел α (действительных или комплексных); в) ║u+y║≤ ║u║ + ║y║.

Слайд 11





Нормой матрицы Аnn  (обозначается ║А║) с вещественными элементами в пространстве матриц называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами:
Нормой матрицы Аnn  (обозначается ║А║) с вещественными элементами в пространстве матриц называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами:
а) ║А║ > 0 (║A║=0 тогда и только тогда, когда A – нулевая матрица);
б) ║α ∙ А║ = |α| ∙ ║А║ для любых чисел α (действительных или комплексных);
в) ║А+В║≤ ║А║ + ║В║;
г) ║А∙В║≤ ║А║ ∙ ║В║ для всех n x n матриц  А  и В рассматриваемого пространства.
Как видно из определения норм векторов и матриц (определения аналогичны, за исключением последнего свойства нормы матрицы), норма матрицы должна быть согласована с нормой векторов. Это согласование осуществляется следующей связью
║А∙u║≤ ║А║ ∙ ║u║
Описание слайда:
Нормой матрицы Аnn (обозначается ║А║) с вещественными элементами в пространстве матриц называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами: Нормой матрицы Аnn (обозначается ║А║) с вещественными элементами в пространстве матриц называют неотрицательное число, вычисляемое с помощью элементов матрицы и обладающее следующими свойствами: а) ║А║ > 0 (║A║=0 тогда и только тогда, когда A – нулевая матрица); б) ║α ∙ А║ = |α| ∙ ║А║ для любых чисел α (действительных или комплексных); в) ║А+В║≤ ║А║ + ║В║; г) ║А∙В║≤ ║А║ ∙ ║В║ для всех n x n матриц А и В рассматриваемого пространства. Как видно из определения норм векторов и матриц (определения аналогичны, за исключением последнего свойства нормы матрицы), норма матрицы должна быть согласована с нормой векторов. Это согласование осуществляется следующей связью ║А∙u║≤ ║А║ ∙ ║u║

Слайд 12


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №12
Описание слайда:

Слайд 13





Согласованные с введёнными выше нормами векторов нормы матриц будут определяться следующим образом:
Согласованные с введёнными выше нормами векторов нормы матриц будут определяться следующим образом:
                                                                                         (2.3а)
                                                                                         (2.3б)
                                                                                          (2.3в)
и евклидова норма матрицы:
                                                                                          (2.3г)
Описание слайда:
Согласованные с введёнными выше нормами векторов нормы матриц будут определяться следующим образом: Согласованные с введёнными выше нормами векторов нормы матриц будут определяться следующим образом: (2.3а) (2.3б) (2.3в) и евклидова норма матрицы: (2.3г)

Слайд 14





Обусловленность СЛАУ 
Число обусловленности матрицы
Описание слайда:
Обусловленность СЛАУ Число обусловленности матрицы

Слайд 15


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №15
Описание слайда:

Слайд 16


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №16
Описание слайда:

Слайд 17





Пример.  Вычислить число обусловленности для матрицы А.
Пример.  Вычислить число обусловленности для матрицы А.
Для этой матрицы  detА = 10-4≠ 0   А-1= 104∙   
║А║1 = 1,99;  ║А-1║1 = 1,99∙104;  μ(А) = 39601
Описание слайда:
Пример. Вычислить число обусловленности для матрицы А. Пример. Вычислить число обусловленности для матрицы А. Для этой матрицы detА = 10-4≠ 0 А-1= 104∙ ║А║1 = 1,99; ║А-1║1 = 1,99∙104; μ(А) = 39601

Слайд 18





Классический пример плохо обусловленной матрицы – матрица Гильберта:  aij = 1/(i+ j – 1),     i, j = 1,…,n.
Классический пример плохо обусловленной матрицы – матрица Гильберта:  aij = 1/(i+ j – 1),     i, j = 1,…,n.

Числа обусловленности для матриц Гильберта различных порядков
>>cond(hilb(n))
Описание слайда:
Классический пример плохо обусловленной матрицы – матрица Гильберта: aij = 1/(i+ j – 1), i, j = 1,…,n. Классический пример плохо обусловленной матрицы – матрица Гильберта: aij = 1/(i+ j – 1), i, j = 1,…,n. Числа обусловленности для матриц Гильберта различных порядков >>cond(hilb(n))

Слайд 19





Прямы методы решения СЛАУ
Прямые методы  дают решение за конечное число шагов. Они просты и универсальны. Их обычно используют для матриц порядка n< 104. 
Трудность численного решения СЛАУ определяется видом матрицы А. Большое значение имеют её размер, обусловленность, симметричность, заполненность, специфика расположения ненулевых коэффициентов и др. 
Легко получается решение системы с диагональной матрицей А: система распадается на n линейных уравнений, каждое из которых содержит лишь одну неизвестную величину.
Описание слайда:
Прямы методы решения СЛАУ Прямые методы дают решение за конечное число шагов. Они просты и универсальны. Их обычно используют для матриц порядка n< 104. Трудность численного решения СЛАУ определяется видом матрицы А. Большое значение имеют её размер, обусловленность, симметричность, заполненность, специфика расположения ненулевых коэффициентов и др. Легко получается решение системы с диагональной матрицей А: система распадается на n линейных уравнений, каждое из которых содержит лишь одну неизвестную величину.

Слайд 20





Для диагональной системы очевидны явные формулы:
Для диагональной системы очевидны явные формулы:
Описание слайда:
Для диагональной системы очевидны явные формулы: Для диагональной системы очевидны явные формулы:

Слайд 21





Метод исключения Гаусса
Описание слайда:
Метод исключения Гаусса

Слайд 22


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №22
Описание слайда:

Слайд 23


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №23
Описание слайда:

Слайд 24


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №24
Описание слайда:

Слайд 25


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №25
Описание слайда:

Слайд 26


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №26
Описание слайда:

Слайд 27





Если в методе Гаусса элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты становятся большими числами, и при пересчёте элементов матрицы может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило , перед исключением u1 среди элементов 1- ого столбца находится главный или максимальный элемент.
Если в методе Гаусса элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты становятся большими числами, и при пересчёте элементов матрицы может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило , перед исключением u1 среди элементов 1- ого столбца находится главный или максимальный элемент.
Этот метод называется методом Гаусса с выбором главного или ведущего элемента. Из-за  накапливания погрешностей в процессе округления метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n≤100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей коэффициентов и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а её определитель при  этом не близок к нулю, то метод Гаусса пригоден для решения больших систем уравнений.
Описание слайда:
Если в методе Гаусса элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты становятся большими числами, и при пересчёте элементов матрицы может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило , перед исключением u1 среди элементов 1- ого столбца находится главный или максимальный элемент. Если в методе Гаусса элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты становятся большими числами, и при пересчёте элементов матрицы может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило , перед исключением u1 среди элементов 1- ого столбца находится главный или максимальный элемент. Этот метод называется методом Гаусса с выбором главного или ведущего элемента. Из-за накапливания погрешностей в процессе округления метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n≤100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей коэффициентов и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а её определитель при этом не близок к нулю, то метод Гаусса пригоден для решения больших систем уравнений.

Слайд 28


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №28
Описание слайда:

Слайд 29





При решении многих прикладных задач  возникают разреженные матрицы, т.е матрицы, в которых много нулевых элементов. К ним относятся и трёхдиагональные матрицы. Метод прогонки разработан для решения систем уравнений с трёхдиагональной матрицей. 
При решении многих прикладных задач  возникают разреженные матрицы, т.е матрицы, в которых много нулевых элементов. К ним относятся и трёхдиагональные матрицы. Метод прогонки разработан для решения систем уравнений с трёхдиагональной матрицей. 
Для хранения квадратной матрицы А размерности nxn требуется n2 ячеек памяти и порядка n3 арифметических операций при работе с ней. Память, отводимая под хранение разреженной матрицы, пропорциональна количеству ненулевых элементов памяти. Оно вычисляется командой mnz(A). Количество арифметических операция также пропорционально mnz(A).
Описание слайда:
При решении многих прикладных задач возникают разреженные матрицы, т.е матрицы, в которых много нулевых элементов. К ним относятся и трёхдиагональные матрицы. Метод прогонки разработан для решения систем уравнений с трёхдиагональной матрицей. При решении многих прикладных задач возникают разреженные матрицы, т.е матрицы, в которых много нулевых элементов. К ним относятся и трёхдиагональные матрицы. Метод прогонки разработан для решения систем уравнений с трёхдиагональной матрицей. Для хранения квадратной матрицы А размерности nxn требуется n2 ячеек памяти и порядка n3 арифметических операций при работе с ней. Память, отводимая под хранение разреженной матрицы, пропорциональна количеству ненулевых элементов памяти. Оно вычисляется командой mnz(A). Количество арифметических операция также пропорционально mnz(A).

Слайд 30





LU-разложение
LU-разложение
Описание слайда:
LU-разложение LU-разложение

Слайд 31


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №31
Описание слайда:

Слайд 32


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №32
Описание слайда:

Слайд 33


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №33
Описание слайда:

Слайд 34






Метод Холецкого (метод квадратного корня)
Пусть матрица А рассматриваемой линейной системы - симметричная, т.е. aij=aji, положительная матрица. Тогда она представима в виде A=LLT, где
Описание слайда:
Метод Холецкого (метод квадратного корня) Пусть матрица А рассматриваемой линейной системы - симметричная, т.е. aij=aji, положительная матрица. Тогда она представима в виде A=LLT, где

Слайд 35


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №35
Описание слайда:

Слайд 36


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №36
Описание слайда:

Слайд 37


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №37
Описание слайда:

Слайд 38





Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы
В матричном виде СЛАУ имеет вид      Au=f  .
Методом обратной матрицы решение системы может быть получено в результате умножения слева правой и левой частей этого уравнения на обратную матрицу от матрицы коэффициентов системы:
                                                     A-1Ax = A-1f
Учитывая, что    A-1A = Е,    получаем       x = A-1f.
Этот метод удобно применять в тех случаях, когда несколько раз решается система уравнений с разными правыми частями. В этом случае достаточно один раз вычислить обратную матрицу A-1 и затем умножать её на различные векторы f.
Недостатком  метода являются трудности вычисления обратной матрицы, особенно если она большой размерности или если её определитель близок к нулю.
Описание слайда:
Метод обратной матрицы Метод обратной матрицы В матричном виде СЛАУ имеет вид Au=f . Методом обратной матрицы решение системы может быть получено в результате умножения слева правой и левой частей этого уравнения на обратную матрицу от матрицы коэффициентов системы: A-1Ax = A-1f Учитывая, что A-1A = Е, получаем x = A-1f. Этот метод удобно применять в тех случаях, когда несколько раз решается система уравнений с разными правыми частями. В этом случае достаточно один раз вычислить обратную матрицу A-1 и затем умножать её на различные векторы f. Недостатком метода являются трудности вычисления обратной матрицы, особенно если она большой размерности или если её определитель близок к нулю.

Слайд 39





 Решение СЛАУ в MATLAB
 Решение СЛАУ в MATLAB
В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения  СЛАУ. Для этого применяются следующие операторы:
Описание слайда:
Решение СЛАУ в MATLAB Решение СЛАУ в MATLAB В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения СЛАУ. Для этого применяются следующие операторы:

Слайд 40





prod(V) или prod(A,k) – вычисляет произведение элементов массива V или произведения столбцов или строк матрицы в зависимости от значения k; 
prod(V) или prod(A,k) – вычисляет произведение элементов массива V или произведения столбцов или строк матрицы в зависимости от значения k; 
>> V=[1,2,3];
>> prod (V) % произведение элементов вектора
>>A=[1 2;3 4]
>> prod(A) %произведения столбцов матрицы
>>prod(A,1) % произведения столбцов матрицы
>> prod(A,2) % произведения строк матрицы
Описание слайда:
prod(V) или prod(A,k) – вычисляет произведение элементов массива V или произведения столбцов или строк матрицы в зависимости от значения k; prod(V) или prod(A,k) – вычисляет произведение элементов массива V или произведения столбцов или строк матрицы в зависимости от значения k; >> V=[1,2,3]; >> prod (V) % произведение элементов вектора >>A=[1 2;3 4] >> prod(A) %произведения столбцов матрицы >>prod(A,1) % произведения столбцов матрицы >> prod(A,2) % произведения строк матрицы

Слайд 41





sum(V) или sum(A,k) – вычисляет сумму элементов массива V или сумму столбцов или строк матрицы, в зависимости от значения k; 
sum(V) или sum(A,k) – вычисляет сумму элементов массива V или сумму столбцов или строк матрицы, в зависимости от значения k; 
>>V=[-1 0 3 -2 1 -1 1]
>>sum(V) %сумма элементов вектора
>>C=[1 2 3;1 2 3]
>>sum(C,1) %сумма элементов матрицы по столбцам
>>sum(C,2) %сумма элементов матрицы по строкам
Описание слайда:
sum(V) или sum(A,k) – вычисляет сумму элементов массива V или сумму столбцов или строк матрицы, в зависимости от значения k; sum(V) или sum(A,k) – вычисляет сумму элементов массива V или сумму столбцов или строк матрицы, в зависимости от значения k; >>V=[-1 0 3 -2 1 -1 1] >>sum(V) %сумма элементов вектора >>C=[1 2 3;1 2 3] >>sum(C,1) %сумма элементов матрицы по столбцам >>sum(C,2) %сумма элементов матрицы по строкам

Слайд 42





dot (v1,v2) – вычисляет скалярное произведение векторов v1 и v2, то же значение выдаст функция  sum(v1.*v2);
dot (v1,v2) – вычисляет скалярное произведение векторов v1 и v2, то же значение выдаст функция  sum(v1.*v2);
>>v1=[1.2;0.3;-1.1] 
>>v2=[-0.9;2.1;0.5]
>>dot (v1,v2) %скалярное произведение
>> sum(v1.*v2) %скалярное произведение
cross (v1,v2) – определяет векторное произведение векторов v1 и v2;
>>v1=[1.2;0.3;-1.1] 
>>v2=[-0.9;2.1;0.5]
>>cross (v1,v2)
Описание слайда:
dot (v1,v2) – вычисляет скалярное произведение векторов v1 и v2, то же значение выдаст функция sum(v1.*v2); dot (v1,v2) – вычисляет скалярное произведение векторов v1 и v2, то же значение выдаст функция sum(v1.*v2); >>v1=[1.2;0.3;-1.1] >>v2=[-0.9;2.1;0.5] >>dot (v1,v2) %скалярное произведение >> sum(v1.*v2) %скалярное произведение cross (v1,v2) – определяет векторное произведение векторов v1 и v2; >>v1=[1.2;0.3;-1.1] >>v2=[-0.9;2.1;0.5] >>cross (v1,v2)

Слайд 43





min(V) – находит минимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=min(V) даёт возможность определить минимальный элемент k и его номер n в массиве;
min(V) – находит минимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=min(V) даёт возможность определить минимальный элемент k и его номер n в массиве;
max(V) - находит максимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=max(V) определяет максимальный элемент k и его номер n в массиве;
>> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1] 
>> min(V)
>> max(V) 
>> [k,n]=min(V) 
>> [k,n]=max(V)
sort(V) – выполняет упорядочивание массива V
>> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1] 
>> sort(V) %сортировка по возрастанию 
>> -sort(-V) % сортировка по убыванию.
Описание слайда:
min(V) – находит минимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=min(V) даёт возможность определить минимальный элемент k и его номер n в массиве; min(V) – находит минимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=min(V) даёт возможность определить минимальный элемент k и его номер n в массиве; max(V) - находит максимальный элемент массива V, вызов в формате [k,n]=max(V) определяет максимальный элемент k и его номер n в массиве; >> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1] >> min(V) >> max(V) >> [k,n]=min(V) >> [k,n]=max(V) sort(V) – выполняет упорядочивание массива V >> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1] >> sort(V) %сортировка по возрастанию >> -sort(-V) % сортировка по убыванию.

Слайд 44





det(M) – вычисляет определитель квадратной матрицы M;
det(M) – вычисляет определитель квадратной матрицы M;
rank(M) – определяет ранг матрицы M;
norm(M,p) – вычисляет различные виды норм матрицы М в зависимости от p (p=1, 2, inf, fro);
cond(M,p) – определяет число обусловленности матрицы M, основанное на норме p;
>> M=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]
>> norm(M) %норма матрицы М
>> cond(M) %число обусловленности матрицы М
>> norm(M,2) %вторая норма матрицы М, аналогично norm(M)
>> cond(M,2) %число обусловленности матрицы М для второй нормы, аналогично cond(M)
Описание слайда:
det(M) – вычисляет определитель квадратной матрицы M; det(M) – вычисляет определитель квадратной матрицы M; rank(M) – определяет ранг матрицы M; norm(M,p) – вычисляет различные виды норм матрицы М в зависимости от p (p=1, 2, inf, fro); cond(M,p) – определяет число обусловленности матрицы M, основанное на норме p; >> M=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10] >> norm(M) %норма матрицы М >> cond(M) %число обусловленности матрицы М >> norm(M,2) %вторая норма матрицы М, аналогично norm(M) >> cond(M,2) %число обусловленности матрицы М для второй нормы, аналогично cond(M)

Слайд 45





diag(V,n) или diag(V) – создаёт квадратную матрицу с элементами V на n-ой диагонали или элементами V на главной диагонали;
diag(V,n) или diag(V) – создаёт квадратную матрицу с элементами V на n-ой диагонали или элементами V на главной диагонали;
>> diag(V)  %диагональная матрица, V на главной диагонали
>> diag(V,1) %диагональная матрица, V на первой диагонали
cat(n, A, B, …) – объединяет матрицы А и В и все входящие матрицы, аналогично [A,B].
inv(M) - вычисляет матрицу, обратную к М;
>> M=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]
>>P=inv(M) 
>> M*P %проверка M*P=Е
Описание слайда:
diag(V,n) или diag(V) – создаёт квадратную матрицу с элементами V на n-ой диагонали или элементами V на главной диагонали; diag(V,n) или diag(V) – создаёт квадратную матрицу с элементами V на n-ой диагонали или элементами V на главной диагонали; >> diag(V) %диагональная матрица, V на главной диагонали >> diag(V,1) %диагональная матрица, V на первой диагонали cat(n, A, B, …) – объединяет матрицы А и В и все входящие матрицы, аналогично [A,B]. inv(M) - вычисляет матрицу, обратную к М; >> M=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6] >>P=inv(M) >> M*P %проверка M*P=Е

Слайд 46





linsolve(A,b) - pешение системы линейных уравнений A*x=b, вызов в формате linsolve(A,b,options) позволяет задать метод решения уравнения. Если задать функцию в виде [x,r]= linsolve(A,b), то она вернёт х – решение системы и  r - ранг матрицы А;
linsolve(A,b) - pешение системы линейных уравнений A*x=b, вызов в формате linsolve(A,b,options) позволяет задать метод решения уравнения. Если задать функцию в виде [x,r]= linsolve(A,b), то она вернёт х – решение системы и  r - ранг матрицы А;
В случае, когда для решения линейной системы используется знак \ , т.е. X=A\b , выбор метода остаётся за МАТL АВ.
>> A=[1 2 3;-2 -4 -6]; b=[5;6]
>>x= linsolve(A,b) 
>>A*x %проверка – решение не верно
>> [x,r]= linsolve(A,b)
>> A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4]
>>x= linsolve(A,b); >>A*x % проверка – решение верно 
>> [x,r]= linsolve(A,b)
Описание слайда:
linsolve(A,b) - pешение системы линейных уравнений A*x=b, вызов в формате linsolve(A,b,options) позволяет задать метод решения уравнения. Если задать функцию в виде [x,r]= linsolve(A,b), то она вернёт х – решение системы и r - ранг матрицы А; linsolve(A,b) - pешение системы линейных уравнений A*x=b, вызов в формате linsolve(A,b,options) позволяет задать метод решения уравнения. Если задать функцию в виде [x,r]= linsolve(A,b), то она вернёт х – решение системы и r - ранг матрицы А; В случае, когда для решения линейной системы используется знак \ , т.е. X=A\b , выбор метода остаётся за МАТL АВ. >> A=[1 2 3;-2 -4 -6]; b=[5;6] >>x= linsolve(A,b) >>A*x %проверка – решение не верно >> [x,r]= linsolve(A,b) >> A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4] >>x= linsolve(A,b); >>A*x % проверка – решение верно >> [x,r]= linsolve(A,b)

Слайд 47





rref(M) - осуществляет приведение матрицы М к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса;
rref(M) - осуществляет приведение матрицы М к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса;
>>%Решение системы уравнений методом Гаусса
>> A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4]
>> C= rref([A b]) %приведение расширенной матрицы к треугольному виду
>>x=C(1:3,4:4) %выделение последнего столбца из матрицы – это решение системы уравнений
>> A*x %проверка
Описание слайда:
rref(M) - осуществляет приведение матрицы М к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса; rref(M) - осуществляет приведение матрицы М к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса; >>%Решение системы уравнений методом Гаусса >> A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4] >> C= rref([A b]) %приведение расширенной матрицы к треугольному виду >>x=C(1:3,4:4) %выделение последнего столбца из матрицы – это решение системы уравнений >> A*x %проверка

Слайд 48





chol(M) - вычисляет разложение по Холецкому для положительно определённой симметрической матрицы М;
chol(M) - вычисляет разложение по Холецкому для положительно определённой симметрической матрицы М;
>> A=[10 1 1;2 10 1;2 2 10]
>>chol(A) 
>> A = [1 2;1 1] %матрица не симметрическая
>>chol(A) 
>> A = [3 1 -1 2;-5 1 3 -4;2 0 1 -1; 1 -5 3 -3] %матрица содержит отрицательные элементы
>>chol(A)
Описание слайда:
chol(M) - вычисляет разложение по Холецкому для положительно определённой симметрической матрицы М; chol(M) - вычисляет разложение по Холецкому для положительно определённой симметрической матрицы М; >> A=[10 1 1;2 10 1;2 2 10] >>chol(A) >> A = [1 2;1 1] %матрица не симметрическая >>chol(A) >> A = [3 1 -1 2;-5 1 3 -4;2 0 1 -1; 1 -5 3 -3] %матрица содержит отрицательные элементы >>chol(A)

Слайд 49





lu(M) – выполняет LU- разложение, возращает две матрицы:  нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U;
lu(M) – выполняет LU- разложение, возращает две матрицы:  нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U;
qr(M) – выполняет  QR – разложение, возвращает ортогональную матрицу Q  и верхнюю треугольную R; Ортогональная матрица обладает свойством Q т = Q-1. 
realmin и realmax – выводят соответственно минимально (после нуля) и максимально возможные числа.
Описание слайда:
lu(M) – выполняет LU- разложение, возращает две матрицы: нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U; lu(M) – выполняет LU- разложение, возращает две матрицы: нижнюю треугольную L и верхнюю треугольную U; qr(M) – выполняет QR – разложение, возвращает ортогональную матрицу Q и верхнюю треугольную R; Ортогональная матрица обладает свойством Q т = Q-1. realmin и realmax – выводят соответственно минимально (после нуля) и максимально возможные числа.

Слайд 50


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №50
Описание слайда:

Слайд 51


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №51
Описание слайда:

Слайд 52


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №52
Описание слайда:

Слайд 53


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №53
Описание слайда:

Слайд 54





% Решим систему, используя LU-разложение
% Решим систему, используя LU-разложение
[L1,U] = lu(A)
y = L1\b
x = U\y
 
[L2,U,P] = lu(A)      % где Р - матрица перестановок
L2 = P*L1
Описание слайда:
% Решим систему, используя LU-разложение % Решим систему, используя LU-разложение [L1,U] = lu(A) y = L1\b x = U\y [L2,U,P] = lu(A) % где Р - матрица перестановок L2 = P*L1

Слайд 55


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №55
Описание слайда:

Слайд 56


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №56
Описание слайда:

Слайд 57


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №57
Описание слайда:

Слайд 58





   Пример 3.
   Пример 3.
Описание слайда:
Пример 3. Пример 3.

Слайд 59


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №59
Описание слайда:

Слайд 60


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №60
Описание слайда:

Слайд 61





Задания.
Задания.
Решить  СЛАУ
Определить обусловленность матрицы коэффициентов.
2.
Проверить точность решения системы уравнений.
Описание слайда:
Задания. Задания. Решить СЛАУ Определить обусловленность матрицы коэффициентов. 2. Проверить точность решения системы уравнений.

Слайд 62





3. Решить СЛАУ
3. Решить СЛАУ
 Проверить точность решения системы уравнений.
Описание слайда:
3. Решить СЛАУ 3. Решить СЛАУ Проверить точность решения системы уравнений.

Слайд 63





Приложение

Элементы матричной алгебры
Описание слайда:
Приложение Элементы матричной алгебры

Слайд 64


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №64
Описание слайда:

Слайд 65


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №65
Описание слайда:

Слайд 66


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №66
Описание слайда:

Слайд 67


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №67
Описание слайда:

Слайд 68


Решение систем конечных уравнений (СКУ), слайд №68
Описание слайда:

Слайд 69












Задание
Найти матрицу, обратную к матрице А.
Описание слайда:
Задание Найти матрицу, обратную к матрице А.



Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию